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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

In der Abbildung sind die Punkte

$\displaystyle A_1 = (0,0),\quad A_2 = (1,0),\quad A_3 = (2,0),\quad A_4 = (3,0) $

mit den Punkten

$\displaystyle B_1 = (0,3)$    und $\displaystyle \quad B_2 = (3,3)$

geradlinig verbunden.


\includegraphics[width=0.4\linewidth]{TdM_11_A2_bild}


Berechnen Sie die Flächeninhalte $ F_1$ bis $ F_7$ der in der Abbildung markierten Drei- und Vierecke.


Antwort:
Dreiecke
$ F_1$ $ =$ ,     $ F_2$ $ =$ ,     $ F_3$ $ =$ ,     $ F_4$ $ =$ ,     $ F_5$ $ =$
Vierecke
$ F_6$ $ =$ ,     $ F_7$ $ =$
(auf drei Dezimalstellen gerundet)

Lösung:

Zunächst bestimmt man die markierten Schnittpunkte.

\includegraphics[width=0.4\linewidth]{TdM_11_A2_Lsg_bild}


Aufgrund der Symmetrie ist $ R = \left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$ und $ S = \left(\dfrac{3}{2} , y\right)$ mit $ \left. y = 3 - \dfrac{3}{2}x \right\vert _{x = \frac{3}{2}} = \dfrac{3}{4} \ .$

Schneiden der Geraden $ g\!: y = x$ mit den Geraden $ g_P\!: y = 3-3x$ und $ g_Q\!: y = 3 - \dfrac{3}{2}x$ ergibt

\begin{displaymath} \begin{array}{rlll} x = & 3 - 3x & \leadsto & P = \left(\d... ... & Q = \left(\dfrac{6}{5}, \dfrac{6}{5}\right) . \end{array} \end{displaymath}

Die Inhalte der Dreiecke mit Eckpunkten $ A_1,$ $ B_1,$ und $ P,\ Q,\ R$ lassen sich nun unmittelbar angeben:

$\displaystyle \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{8}, \quad \dfrac{3}... ...{6}{5} = \dfrac{9}{5}, \quad \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{4}. $

Damit ist

\begin{displaymath} \begin{array}{lcl} F_1 & = & \dfrac{9}{8} = 1.125, \\ [2ex... ...rac{9}{4} - \dfrac{9}{5} = \dfrac{9}{20} = 0.45. \end{array} \end{displaymath}

Ebenfalls ablesen kann man die Inhalte von Dreiecken mit waagrechter Grundseite:

\begin{displaymath} \begin{array}{lcl} F_4 & = & \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{8} = F_5 = 0.375 \end{array} \end{displaymath}

sowie

\begin{displaymath} \begin{array}{lclcl} \triangle \left( A_1, A_3, Q \right) ... ...c{3}{2} \cdot \dfrac{3}{2} & = & \dfrac{9}{4}. \end{array} \end{displaymath}

Schließlich folgt

\begin{displaymath} \begin{array}{lcl} F_6 & = & \dfrac{6}{5} - F_4 -F_5 = \dfrac{9}{20} = 0.45 \end{array} \end{displaymath}

und

\begin{displaymath} \begin{array}{lcl} F_7 & = & \dfrac{9}{4} - 2F_4 -F_5 - 2F_6 = \dfrac{9}{40} = 0.225 . \end{array} \end{displaymath}

[Aufgabe der Woche]