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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

#./interaufg69.tex#Die Ebene

$\displaystyle E: x+y=1 $

zerlegt den Tetraeder mit den Eckpunkten

$\displaystyle (x, y, z) = (0,0,0), (2,0,0), (0,3,0), (0,0,6) $

in zwei Teilkörper.


\includegraphics[width=.3\linewidth]{TdM_13_A3_bild}

Bestimmen Sie die Kantenschnittpunkte $ A, B, C, D$. Berechnen Sie die Volumina des Tetraeders sowie des Teilkörpers, der den Ursprung $ O$ enthält.

Hinweis: Das gestrichelte Dreieck $ \triangle (C, P, Q)$ zerlegt einen der Teilkörper in ein Prisma und in eine Pyramide mit viereckiger Grundfläche.


Antwort:
$ A=$    ( , , )
$ B=$    ( , , )
$ C=$    ( , , )
$ D=$    ( , , )
$ V_{\text{Tetraeder}}=$    ,         $ V_{\text{Teilk\uml orper}}=$    
(auf drei Dezimalstellen gerundet)

Lösung:

Die Kantenschnitte erhält man durch Einsetzen der parametrischen Darstellung der Kante in die Ebenengleichung.

$ A: (t,0,0) \to E \Rightarrow t = 1,$ d. h.

$\displaystyle A = (1,0,0) $

$ B: (0,t,0) \to E \Rightarrow t = 1,$ d. h.

$\displaystyle B = (0,1,0) $

$ C: (1-t)(2,0,0) + t(0,0,6) \to E \Rightarrow 2-2t = 1,$ d. h. $ t = 1/2$ und

$\displaystyle C = (1,0,3) $

$ D: (1-t)(0,3,0) + t(0,0,6) \to E \Rightarrow 3-3t = 1,$ d. h. $ t = 2/3$ und

$\displaystyle D = (0,1,4) $


Das Grunddreieck des Tetraeders hat den Flächeninhalt

$\displaystyle 1/2 \cdot 2 \cdot 3 = 3 . $

Für das Volumen erhält man

$\displaystyle V_{\text{Tetraeder}} = \dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot \vert OR\vert = \dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot 6 = 6 , $

wobei $ R = (0,0,6)$ die Spitze des Tetraeders ist.




Das Prisma mit Grundfläche $ \triangle (O, A, B)$ und Höhe $ \vert A C\vert = 3$ hat das Volumen

$\displaystyle V_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 3 = \dfrac{3}{2}. $

Die Grundfläche der Pyramide ist ein Trapez mit Eckpunkten $ D, P, Q, R$.
Sein Flächeninhalt ist

$\displaystyle \dfrac{1}{2}(\vert RQ\vert+\vert PD\vert) \cdot \vert QP\vert = \dfrac{1}{2} (3+1) \cdot 1 = 2 . $

Multipliziert mit einem Drittel der Höhe $ \vert CQ\vert$ ergibt sich das Volumen

$\displaystyle V_2 = \dfrac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 = \dfrac{2}{3}. $


Damit hat der Teilkörper, der den Ursprung $ O$ enthält, das Volumen

$\displaystyle V_{\text{Teilk\uml orper}} = V_1 + V_2 = \dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{3} = \dfrac{13}{6} \approx 2.167. $

[Aufgabe der Woche]