Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

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	Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

In dem folgenden Zahlenrätsel entspricht jeder Buchstabe einer Ziffer. Beispielsweise ist R = 3.

$\begin{tabular}{cccccl} & L & E & A & R & N \\ + & M & A & T & H & E \\ \hline O & N & L & I & N & E \end{tabular}$

Ordnen Sie die restlichen Ziffern den anderen Buchstaben richtig zu.

Antwort:

A

E

H

I

L

M

N

O

T

Lösung:

Zunächst erkennt man aus der Addition der letzten Spalte mit N+E=E, dass N=0 sein muss. Es ist auch unmittelbar ersichtlich, dass O=1 ist, da der Übertrag nur null oder eins sein kann und die Null schon für N vergeben ist. Setzt man diese Werte ein, folgt daraus, dass H=7.
Damit erhält man bereits folgende Teillösung:

$\begin{tabular}{llllll} & L & E & A & 3 & 0 \\ + & M$_\alpha$\ & A$_\beta$\ & T$_1$\ & 7 & E \\ \hline 1 & 0 & L & I & 0 & E\ , \end{tabular}$

wobei eventuelle Überträge mit $\alpha,\beta\in\{0,1\}$ bezeichnet sind. Es gelten also die Gleichungen

$\begin{tabular}{rclr} L + M &=& $10 - \alpha$\ & \qquad (1) \\ E + A -- L &=& $... ...beta$\ & \qquad (2)\\ A + T -- I &=& $10\beta - 1$\,,& \qquad (3) \end{tabular}$

die nun für die verschiedenen Übertragskombinationen untersucht werden.
Dazu geht man jeweils von der Gleichung

E $\displaystyle +$ A $\displaystyle +$ M $\displaystyle \quad = \quad 10 + 9\alpha - \beta \qquad (*)$

aus, die man durch Addition von (1) und (2) erhält. Weiter ist

$\displaystyle \{$ A, E, I, L, M, T $\displaystyle \} = \{2,\,4,\,5,\,6,\,8,\,9\}$

als Einschränkung der Lösungsmenge zu berücksichtigen, da die anderen Zahlen bereits vergeben sind.

$\alpha=0$ , $\beta=0$ : $\Longrightarrow (*)$ : E+A+M=10.
Dieser Fall besitzt keine Lösung, da die Summe der noch verfügbaren kleinsten Zahlen 2, 4 und 5 schon elf ergeben.

$\alpha=0$ , $\beta=1$ : $\Longrightarrow (*)$ : E+A+M=9.
Dieser Fall besitzt ebenfalls keine Lösung, da die Summe der möglichen Zahlen größer als 9 ist.

$\alpha=1$ , $\beta=0$ : $\Longrightarrow (*)$ : E+A+M=19.
Hier können die Buchstaben E, A und M verschiedene Werte annehmen:

$(*) \to$ $\{$ E, A, M $\}=\{2,\,8,\,9 \}$ . (1) besitzt keine Lösung, da L=M, also L $\in \{ 7,\, 1,\, 0\}$ liegen müsste und diese Werte schon alle vergeben sind.
$(*) \to$ $\{$ E, A, M $\}=\{4,\,6,\,9 \}$ . (1) L=M gilt erneut, und somit L $\in \{ 5,\, 3,\, 0\}$ , wovon nur L möglich ist.
Damit bleiben für die restlichen Buchstaben die folgenden Zahlen übrig: $\{$ I, T $\} = \{2,\,8 \}$ . Mit (3) folgt A=1TI, also muss IT sein, und man erhält A (Widerspruch).
$(*) \to$ $\{$ E, A, M $\}=\{5,\,6,\,8 \}$ . Nach demselben Prinzip erhält man aus (1) L, und (3) $\{$ I, T $\} = \{2,\,9 \}$ führt dann zu A.
Somit ist eine mögliche Lösung: A, E, I, L, M, T.

$\alpha=1$ , $\beta=1$ : $\Longrightarrow (*)$ E+A+M=18.

$(*) \to$ $\{$ E, A, M $\}=\{4,\,6,\,8 \}$ . Somit gilt nach (1), dass L $\in \{5,\, 3,\, 1 \}$ . Dabei ist nur L möglich.
Mit (3) gilt für die beiden letzten Buchstaben $\{$ I, T $\} = \{2,\,9 \}$ , und aus ATI ergibt sich A (Widerspruch).
$(*) \to$ $\{$ E, A, M $\}=\{4,\,5,\,9 \}$ . Somit gilt nach (1), dass L $\in \{5,\, 4,\, 0 \}$ . Da diese Zahlen alle schon vergeben sind, gibt es keine weitere Lösung.

[Aufgabe der Woche]