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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche


Aufgabe:

Der Hals der abgebildeten rotationssymmetrischen Flasche wurde durch

$\displaystyle y(x)=a+bx+cx^2+dx^3
$

modelliert.

\includegraphics[clip,width=0.7\linewidth]{flasche}

Bestimmen Sie die Koeffizienten $ a,b,c,d$ sowie den Flächeninhalt $ F$ des abgebildeten Längsschnitts durch die Flasche und ihr Volumen $ V$ mit den aus der Skizze ersichtlichen Vorgaben. Beachten Sie die waagerechte Tangentenrichtung des Flaschenhalses für die beiden Abszissen $ x=0$ und $ x=10$.


Antwort:

$ a$ $ =$
$ b$ $ =$
$ c$ $ =$
$ d$ $ =$
$ F$ $ =$
$ V$ $ =$

(Geben Sie die Werte auf drei Dezimalstellen gerundet an.)


Lösung:

Es gilt

\begin{displaymath}
\begin{array}{lll}
y(x) &=&a+bx+cx^2+dx^3 \\ [1ex]
y'(x)&=&b+2cx+3dx^2.
\end{array}\end{displaymath}

Einsetzen der Bedingungen ergibt

$\displaystyle y(0)=1 \quad y(10)=3 \quad y'(0)=0 \quad y'(10)=0.$

Also gilt

$\displaystyle \begin{array}{r@{\quad=\quad}rcrcrcrl}
1 &a\\
3 &a&+&10b&+&100c&+&1000d\\
0 &b\\
0 & & & b&+& 20c&+& 300d.\\
\end{array} $

Einsetzen von $ a$ und $ b$ ergibt

$\displaystyle \begin{array}{r@{\quad=\quad}rcrcrrrrcrl}
3 &1&&&&&&+&100c&+&1000d\\
0 & & & &&& && 20c&+& 300d.\\
\end{array} $

Hieraus ergibt sich sofort $ -1/250=d$ und $ 3/50=c$.

Zusammengefasst ergibt sich $ y(x)= 1 + \dfrac{3}{50}x^2 - \dfrac{1}{250}x^3$.

Der Flächeninhalt $ F$ berechnet sich wie folgt:

$\displaystyle \hspace*{4cm} F$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\left( \int_0^{10} y(x) \, dx + \int_{10}^{20} 3\, dx\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\left( \int_0^{10} 1 + \frac{3}{50}x^2 - \frac{1}{250}x^3 \, dx + \int_{10}^{20} 3\, dx\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\left(\left[x+\frac{1}{50}x^3-\frac{1}{1000}x^4\right]^{10}_0 + 30\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(20+30)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 100$  

Das Volumen $ V$ berechnet sich wie folgt:

$\displaystyle \hspace*{4cm} V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^{10} \pi y(x)^2 \, dx + \int_{10}^{20} \pi 3^2\, dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^{10} \pi \left( 1 + \frac{3}{50}x^2 - \frac{1}{250}x^3\right)^2 \, dx + \int_{10}^{20} \pi 3^2\, dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi \left( \int_0^{10} 1+\frac{6}{50}x^2
-\frac{1}{125}x^3+\frac{9}{2\,500}x^4
-\frac{3}{6\,250}x^5+\frac{1}{62\,500}x^6\,dx +90\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi \left[ x+\frac{2}{50}x^3
-\frac{1}{500}x^4+\frac{9}{12\,500}x^5
-\frac{1}{12\,500}x^6+\frac{1}{62\,500\cdot 7}x^7\right]_0^{10}
+90\pi$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi\left(10+40-20+72-80+\frac{160}{7}\right)+90\pi$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{944}{7}\pi \approx 423.666$  


[Aufgabe der Woche]