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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

Die Abbildung zeigt ein Tetraeder mit den Eckpunkten

$\displaystyle (0,0,0)\,,\quad (1,0,0)\,,\quad (0,1,0)\,,\quad (0,0,1)\,, $

das durch die Ebene

$\displaystyle x+2y+2z=s\ $

geschnitten wird.

\includegraphics[width=0.45\linewidth]{tetraeder1.eps}         \includegraphics[width=0.45\linewidth]{tetraeder2.eps}

Bestimmen Sie für beliebiges, aber festes $ s$ die Schnittpunkte der Ebene mit den Kanten. Bestimmen Sie außerdem die Flächeninhalte $ F$ der entstehenden Trapeze $ (s\in(1,2))$ und Dreiecke $ (s\in(0,1])$.

Antwort:

Trapeze
$ A$ $ \left(\right.$$ s +$ $ \mid $ $ s +$ $ \mid $ $ s +$ $ \left.\right)$
$ B$ $ \left(\right.$$ s +$ $ \mid $ $ s +$ $ \mid $ $ s +$ $ \left.\right)$
$ C$ $ \left(\right.$$ s +$ $ \mid $ $ s +$ $ \mid $ $ s +$ $ \left.\right)$
$ D$ $ \left(\right.$$ s +$ $ \mid $ $ s +$ $ \mid $ $ s +$ $ \left.\right)$
$ F$ $ s^2 +$$ s +$


Dreiecke
$ A$ $ \left(\right.$$ s +$ $ \mid $ $ s +$ $ \mid $ $ s +$ $ \left.\right)$
$ B$ $ \left(\right.$$ s +$ $ \mid $ $ s +$ $ \mid $ $ s +$ $ \left.\right)$
$ C$ $ \left(\right.$$ s +$ $ \mid $ $ s +$ $ \mid $ $ s +$ $ \left.\right)$
$ F$ $ s^2 +$ $ s +$

Lösung:

Seien $ E_1=(1\mid 0\mid 0)$, $ E_2=(0\mid 1\mid 0)$ und $ E_3=(0\mid 0\mid 1)$.

Die Schnittpunkte bilden ein Trapez.

$ A:$
$ A$ liegt auf der $ y-\!$Achse, deshalb ist die $ x-\!$ und $ z-\!$Koordinate gleich Null.$ \,$Außerdem liegt $ A$ auf der Ebene $ x+2y+2z=s.\,$Somit ist $ 0+2y+2\cdot 0=s$ und folglich $ y=s/2$.
$ B$:
$ B$ liegt auf der $ z-\!$Achse, deshalb ist die $ x-\!$ und $ y-\!$Koordinate gleich Null.$ \,$Außerdem liegt $ B$ auf der Ebene.$ \,$Somit ist $ 0+2\cdot 0+2z=s$ und folglich $ z=s/2$.
$ C$:
$ C$ liegt auf der Ebene und $ \overline{E_1E_3}.\,$.Deshalb ist die $ y-\!$Koordinate gleich Null.$ \,$Somit ist
\begin{displaymath}\begin{array}{rcrcrcr} x&+&2\cdot 0&+&2z&=&s\\ x& & &+& z&... ...rrow\quad \begin{array}{rcr} x&=&2-s\\ z&=&s-1 \end{array}\end{displaymath}
$ D$:
Aus Symmetriegründen ist im Unterschied zu $ C$ lediglich die $ y-\!$ und die $ z-\!$Koordinate zu vertauschen.
$ F$:

\includegraphics[width=0.3\linewidth]{l_00_1_bild1}
Sei $ M_1:=(A+B)/2$ und $ M_2:=(C+D)/2$.
Der Flächeninhalt $ F$ ist gleich
$ \left\vert\overrightarrow{M_1M_2}\right\vert \left(\left\vert\overrightarrow{AB\,\,}\right\vert+ \left\vert\overrightarrow{DC\,\,}\right\vert\right)/2 $.

Nun die Berechnung der benötigten Größen:

\begin{displaymath}\begin{array}{l@{(}c@{\,\mid\,}c@{\,\mid\,}c@{)}} M_1=(A+B)/2=&0&s/4&s/4\\ M_2=(C+D)/2=&2-s&(s-1)/2&(s-1)/2 \end{array}\\ \end{displaymath}
$ \Longrightarrow \overrightarrow{M_1M_2}= \left(\begin{array}{c}2-s\\ s/4-1/2\\... ...\end{array}\right)=(2-s)\left(\begin{array}{c}1\\ -1/4\\ -1/4\end{array}\right)$.

Die gesuchte Höhe des Trapezes ist:
\begin{displaymath}\begin{array}{lcl} \left\vert\overrightarrow{M_1M_2}\right\vert&=&(2-s)\left(3/(2\sqrt{2}\right) \end{array}\end{displaymath}

Die noch fehlenden Größen berechnen sich wie folgt:
$ \overrightarrow{AB\,\,}=\left(\begin{array}{c}0\\ -s/2\\ s/2\end{array}\right)... ...uad \left\vert\overrightarrow{AB\,\,}\right\vert=\sqrt{s^2/4+s^2/4}=s/\sqrt{2}$;

$ \overrightarrow{DC\,\,}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1-s\\ s-1\end{array}\right),... ...d \left\vert\overrightarrow{DC\,\,}\right\vert=\sqrt{2(s-1)^2}=2(s-1)/\sqrt{2}$.

Folglich ist

$ \displaystyle F=(2-s)\frac{3}{2\sqrt{2}}\left( \frac{s}{\sqrt{2}}+\frac{2(s-1)}{\sqrt{2}}\right)/2=\frac{3}{8}(3s-2)(2-s) $.


Die Schnittpunkte bilden ein Dreieck.

$ A, B:$
Es ergeben sich genau dieselben Lösungen wie im ersten Teil der Aufgabe.
$ C$:
$ C$ liegt auf der $ x-\!$Achse, deshalb ist die $ y-\!$ und $ z-\!$Koordinate gleich Null.$ \,$Außerdem liegt $ C$ auf der Ebene $ x+2y+2z=s$.$ \,$Somit ist $ x+2\cdot 0+2\cdot 0=s$ und folglich $ x=s$.
$ F$:

\includegraphics[width=0.35\linewidth]{l_00_1_bild2}
Das Dreieck $ \triangle(A,B,C)$ ist gleichschenklig,
denn $ \left\vert\overrightarrow{AC\,\,}\right\vert=\left\vert\overrightarrow{BC\,\,}\right\vert$. Wenn nun $ M=(A+B)/2$
der Mittelpunkt zwischen $ A$ und $ B$ ist, so
ergibt sich der Flächeninhalt als $ F=\frac{1}{2} \left\vert\overrightarrow{AB\,\,}\right\vert\left\vert\overrightarrow{MC\,\,}\right\vert$.

Nun die Berechnung der benötigten Größen:
$ M=(0\mid s/4\mid s/4);\\ \overrightarrow{MC\,\,}=\left(\begin{array}{c}s\\ -s... ...\vert\overrightarrow{MC\,\,}\right\vert=\sqrt{s^2+s^2/16+s^2/16}=3s/(2\sqrt{2})$;

$ \overrightarrow{AB\,\,}=\left(\begin{array}{c}0\\ -s/2\\ s/2\end{array}\right),\quad \left\vert\overrightarrow{AB\,\,}\right\vert=\sqrt{s^2/4+s^2/4}=s/\sqrt{2}$.

Folglich ist

$ \displaystyle F=\frac{1}{2} \frac{3s}{2\sqrt{2}} \frac{s}{\sqrt{2}}=\frac{3}{8}s^2$.

[Aufgabe der Woche]