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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

Durch Rotation des unten gezeigten Querschnitts um die $ x$-Achse entsteht eine (nicht sonderlich standfeste) Vase.



\includegraphics[width=\linewidth]{vase.eps}

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x+1}$  
$\displaystyle g(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x-2}$  

Wie schwer ist die Vase, wenn sie aus Glas der Dichte $ 2.5\,$g/cm$ ^3$ gefertigt wird?


Antwort:

$ m = $ g

(auf ganze Gramm gerundet)

Lösung:

Masse des Rotationskörpers:

$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2.5\pi\left(\int_0^{10}{f(x)^2}\; dx -\int_2^{10}{g(x)^2}\; dx\right) {\text g}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2.5\pi\left(\int_0^{10}{x+1}\; dx -\int_2^{10}{x-2}\; dx\right) {\text g}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2.5\pi\cdot28\: {\text g}$  
  $\displaystyle \approx$ $\displaystyle 220\: {\text g}$  

[Aufgabe der Woche]