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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

Das graue Dreieck wird durch die $ y-$Achse sowie durch die Tangente und Normale des Graphen der Funktion $ y = x^4$ im Punkt $ P$ begrenzt.

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{TdM_09_A1_bild1.eps}

Bestimmen Sie $ y_1$ und $ y_2$ in Abhängigkeit von der $ x-$Koordinate von $ P$. Für welches $ x_{\min} > 0$ wird der Flächeninhalt $ F$ des Dreiecks am kleinsten, und wie groß ist der minimale Wert $ F_{\min}?$

Antwort:
$ y_1$ $ =$ $ x^4$,          $ y_2$ $ =$ $ x^4$ + $ /x^2$
$ x_{\min}$ $ =$ ,          $ F_{\min}$ $ =$
(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Lösung:

Die Steigung der Tangente bzw. Normale in Punkt $ P=(x,y)$ ist $ 4x^3$ bzw. $ - \dfrac{1}{4x^3}$.
Folglich ist

$\displaystyle y_1 = y - x (4x^3) = -3x^4 $

und

$\displaystyle y_2 = y + x \dfrac{1}{4x^3} = x^4 + \dfrac{1}{4x^2}\ . $

Der Flächeninhalt des grauen Dreiecks ist

$\displaystyle F(x) = \dfrac{x}{2} (y_2 - y_1) = \dfrac{x}{2} \left( 4x^4 + \dfrac{1}{4x^2}\right) = 2x^5 + \dfrac{1}{8x}\ . $

Aus

$ 0 = F'(x) = 10 x^4 - \dfrac{1}{8x^2}$
folgt
$ x_{\min} = \sqrt[6]{1/80} = \sqrt[6]{0.0125} = 0.4817 . $

Da $ F(x) \rightarrow \infty $ für $ x \rightarrow 0$ oder $ x \rightarrow \infty , $ ist der zugehörige Flächeninhalt

$\displaystyle F_{\min} = \dfrac{1}{2x_{\min}} \left( 4 x^6_{\min} +\dfrac{1}{4} \right) = \dfrac{3}{20} \sqrt[6]{80} = 0.3114 $

minimal.

[Aufgabe der Woche]