Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

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	Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

Die Abbildung zeigt die Bahn einer Billardkugel, die wieder zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Dieser geschlossene Streckenzug wird als Fünfbänder bezeichnet.

$\includegraphics[width=0.6\linewidth]{TdM_08_A4_bild1.eps}$

Bestimmen Sie die Koordinaten der durch die Kreise markierten fünf Reflexionspunkte. Konstruieren Sie ebenfalls vom gleichen Ausgangspunkt aus einen Drei- und einen Vierbänder, bei denen die Banden $\bigcirc\hspace*{-2.8mm}3$ $\bigcirc\hspace*{-2.8mm}2$ $\bigcirc\hspace*{-2.8mm}1$ bzw. $\bigcirc\hspace*{-2.8mm}2$ $\bigcirc\hspace*{-2.8mm}3$ $\bigcirc\hspace*{-2.8mm}4$ $\bigcirc\hspace*{-2.8mm}1$ getroffen werden.

Antwort:

Fünfbänder:

$\Big( a,$ $b \Big)$ , $\Big($ $a, b \Big)$ , $\Big( 0,$ $b \Big)$ , $\Big( a,$ $b \Big)$ , $\Big($ $a, 0 \Big)$

Dreibänder:

$\Big($ $a, b \Big)$ , $\Big( a,$ $b \Big)$ , $\Big($ $a, 0 \Big)$

Vierbänder:

$\Big( a,$ $b \Big)$ , $\Big($ $a, b \Big)$ , $\Big( 0,$ $b \Big)$ , $\Big($ $a, 0 \Big)$

(Geben Sie die Werte auf vier Dezimalstellen gerundet an.)

Lösung:

Die Reflexionen an den Banden lassen sich am einfachsten durch Spiegelungen des Billardtisches realisieren.

$\includegraphics[width=0.6\linewidth]{TdM_08_A4_bild2.eps}$

Beispielsweise wird der in der Aufgabe abgebildete Fünfbänder durch eine Gerade von $\left(a/3, \,b/4\right)$ nach $\left(11a/3, \,9b/4 \right)$ beschrieben, die durch die an den Banden $\bigcirc\hspace*{-2.8mm}2$ $\bigcirc\hspace*{-2.8mm}3$ $\bigcirc\hspace*{-2.8mm}4$ $\bigcirc\hspace*{-2.8mm}2$ und $\bigcirc\hspace*{-2.8mm}1$ reflektierten Billardtische verläuft. Aus der Punktsteigungsform dieser Geraden,

$\displaystyle y-\frac{1}{4}\, b= \frac{3}{5}\, \frac{b}{a} \left(x-\frac{1}{3}\, a \right)\, ,$

kann man die durch Kreise markierten Schnittpunkte ablesen:

$\displaystyle \left( a, \frac{13}{20} \, b \right) \, , \quad \left( \frac{19}... ...{37}{20} \, b \right) \, , \quad \left( \frac{13}{4} \,a, 2 \, b \right) \, .$

Unter Berücksichtigung der Spiegelungen entsprechen sie den Reflexionspunkten

$\displaystyle \left( a, \frac{13}{20} \, b \right) \, , \quad \left( \frac{5}{... ... \frac{3}{20} \, b \right) \, , \quad \left( \frac{3}{4} \,a, 0 \right) \, .$

Dem Dreibänder entspricht die Gerade von $\left(a/3, \,b/4\right)$ nach $\left(5a/3, \,9b/4 \right)$ mit der Punktsteigungsform

$\displaystyle y-\frac{1}{4}\, b= \frac{3}{2}\, \frac{b}{a} \left(x-\frac{1}{3}\, a \right) \,.$

Man erhält die Schnittpunkte

$\displaystyle \left( \frac{5}{6} \, a,b \right) \, , \quad \left( a, \frac{5}{4} \, b \right) \, , \quad \left( \frac{3}{2} \,a, 2 \, b \right) \, ,$

die den Reflexionspunkten

$\displaystyle \left( \frac{5}{6} \, a,b \right) \, , \quad \left( a, \frac{3}{4} \, b \right) \, , \quad \left( \frac{1}{2} \,a, 0 \right)$

entsprechen.

Schließlich entspricht dem Vierbänder die Gerade

$\displaystyle y-\frac{1}{4}\, b= \frac{b}{a} \left(x-\frac{1}{3}\, a \right)\, ,$

und man erhält die Reflexionspunkte

$\displaystyle \left( a, \frac{11}{12} \, b \right) \, , \quad \left( \frac{11}... ... \frac{1}{12} \, b \right) \, , \quad \left( \frac{1}{12} \,a, 0 \right) \, .$

[Aufgabe der Woche]