Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

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	Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

Nehmen Sie entgegen Sepp Herbergers Axiom ,,Der Ball ist rund`` an, dass ein Fußball ein Polyeder sei.

$\includegraphics{ball.eps}$

Bestimmen Sie mit Hilfe des Eulerschen Polyedersatzes die Anzahl der Ecken.

Antwort:

Lösung:

Es bezeichne

die Anzahl der Ecken,

die Anzahl der Kanten,

die Anzahl der Fünfecke und

die Anzahl der Sechsecke des Fußballs.

Die Oberfläche des Fußballs ist aus schwarzen Fünfecken und weißen Sechsecken zusammengesetzt. An jeder Ecke treffen zwei Sechsecke und ein Fünfeck aufeinander:

$\displaystyle E = 5\cdot A = \frac{6}{2}\cdot B$
Jede Kante des Fußballs verbindet zwei Ecken, und an jeder Ecke treffen sich drei Kanten:

$\displaystyle \displaystyle \frac{K}{3}= \frac{E}{2}$
Eulerscher Polyedersatz:

$\displaystyle E-K+(A+B)=2$

Diese Überlegungen führen auf folgendes Gleichungssystem:

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcrcrcrcr} E & - & K & + & A & + & B & = & 2\\... ...& - & 3B& = & 0\\ 1.5 E & - & K & & & & & = & 0\\ \end{array}\end{displaymath}$

Auflösen nach der Anzahl der Ecken ergibt

[Aufgabe der Woche]