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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche


Aufgabe:

Für eine Folge $ x_1, \ x_2, \ldots $ sei jedes Glied um $ 1$ kleiner als die Summe seiner Nachbarn:

$\displaystyle x_k = x_{k-1} + x_{k+1}-1, \quad k = 2, 3, \ldots .
$

Jede solche Folge ist periodisch.

Antwort:

Periodenlänge: ,          Summe:
Folgenglieder:
$ x_{11}$ $ =$ ,         $ x_{22}$ $ =$ ,         $ x_{33}$ $ =$ ,         $ x_{44}$ $ =$ ,         $ x_{55}$ $ =$


Lösung:

Durch Umformen der angegebenen Formel erhält man

$\displaystyle x_{k+1} = 1 -x_{k-1} +x_{k} \,.
$

Somit lassen sich alle Folgenglieder auf die ersten beiden umrechnen:

$\displaystyle \hspace*{3.9cm} x_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 -x_1 +x_2$  
$\displaystyle x_4$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 -x_2 +x_3 \ = \ 2 -x_1$  
$\displaystyle x_5$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 -x_3 +x_4 \ = \ 2 -x_2$  
$\displaystyle %= 1 -(1 -x_1 +x_2) +(2 -x_1)
x_6$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 -x_4 +x_5 \ = \ 1 +x_1 -x_2$  
$\displaystyle %1 -(2 -x_1) + 2 -x_2
x_7$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 -x_5 +x_6 \ = \ x_1$  
$\displaystyle % 1 -(2 -x_2) + 1 -x_1 -x_2
x_8$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 -x_6 +x_7 \ = \ x_2 . % 1 -(1 +x_1 -x_2) + x_1
$  

Für alle weiteren Glieder gilt ebenso $ x_{k+6}=x_{k},$ da jedes Folgenglied nur von seinen beiden Vorgängern abhängt. Die Periodenlänge ist demnach $ 6.$


Die Addition der Glieder einer Periode ergibt

$\displaystyle x_1 + \ldots + x_6 = x_1 + x_2 + (1-x_1+x_2) +
(2-x_1)+(2-x_2)+(1+x_1-x_2)=6 .
$

Folglich ist

$\displaystyle \sum_{k=1}^{66} x_k = 11 \cdot 6 = 66\,.
$


Aus

$\displaystyle 66 = x_{66} = x_6 = 1 + x_1 - x_2 = 2 - x_2
$

folgt

$\displaystyle x_2 = -64\,,
$

und durch Einsetzen erhält man
$\displaystyle \hspace*{2.7cm} x_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - 1 + (-64) \ = \ -64$  
$\displaystyle x_4$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2 - 1 \ = \ 1$  
$\displaystyle x_5$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2 - (-64) \ = \ 66\,.$  

Die gesuchten Glieder sind somit
$\displaystyle \hspace*{1.2cm} x_{11}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_{5} \ = \ 66$  
$\displaystyle x_{22}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_{4} \ = \ 1$  
$\displaystyle x_{33}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_{3} \ = \ -64$  
$\displaystyle x_{44}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_{2} \ = \ -64$  
$\displaystyle x_{55}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_{1} \ = \ 1\,.$  


[Aufgabe der Woche]