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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche


Aufgabe:

Die Abbildung zeigt den Graphen des Polynoms

$\displaystyle p(x)=x^2(a-x^2)
$

mit den Tangenten in den Punkten $ Q_i,$ die ein Quadrat bilden.

\includegraphics[width=8.3cm]{TdM_05_A3_bild1.eps}


Antwort:
$ P$ = $ \Big($ $ \sqrt a$, $ a^2 \Big)$
$ a$ =      
$ Q_1$ = $ \Big($ , $ \Big)$
$ Q_2$ = $ \Big($ , $ \Big)$
$ F$ =      

(auf vier Dezimalstellen gerundet)


Lösung:

Aus $ p'(x)=2ax-4x^3=0$ folgt

$\displaystyle P=\left(\sqrt{\frac{a}{2}}\;,\;\frac{a^2}{4}\right),
$

und für $ a=2$ erhält man den folgenden Graphen von $ p'$:
\includegraphics[width=6cm]{TdM_05_A3_bild3.eps}
Das Polynom $ p$ besitzt genau dann vier Punkte mit Steigung $ \pm 1,$ wenn die Extrema von $ p'$ die Ordinaten $ \pm 1$ besitzen, d.h. $ Q_1$ muss ein Wendepunkt sein. Somit gilt

$\displaystyle p''(x)=2a-12x^2\stackrel{!}{=}0 \quad \Rightarrow \quad a=6x^2
$

und eingesetzt in $ p'(x)=1$ folgt

$\displaystyle 2(6x^2)x-4x^3=1 \quad \Rightarrow \quad x^3=\dfrac{1}{8}
\quad \Rightarrow \quad x=\frac{1}{2}\,,
$

d.h. $ a=3/2$ und $ Q_1=(1/2\,,5/16).$

Für die Abszisse von $ Q_2$ gilt somit

$\displaystyle 3x-4x^3=-1.
$

Aus Symmetriegründen ist $ x=-1/2$ eine Lösung. Als weitere Lösungen erhält man mit Hilfe von Polynomdivision

\begin{displaymath}
\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrr}
(4x^3 & & -3x & -1&\hspac...
... & -1 \\
& -2x^2 & -x \\ \cline{2-4}
& &-2x & -1
\end{array}\end{displaymath}

und der Mitternachtsformel

$\displaystyle x_{2,3}=\frac{1}{4}\pm\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\pm\frac{3}{4}
$

und damit $ Q_2=(1, 1/2).$

Um die Fläche des Quadrats zu bestimmen, berechnet man die Schnittpunkte der Tangenten mit der $ y$-Achse:

\begin{displaymath}
\begin{array}{rrrrrrrrr}
Q_1: & y &=&\dfrac{5}{16}+(0-1/2)&...
...]
Q_2: & y &=&\dfrac{1}{2}-(0-1)&=&\dfrac{3}{2}\ .
\end{array}\end{displaymath}

Aus der Länge $ \ell=3/2+3/16=27/16$ der Diagonalen erhält man die Fläche

$\displaystyle F=\frac{1}{2}\,\ell^2=\frac{27^2}{2\cdot 16^2}=\frac{729}{512}\approx 1.4238.
$


[Aufgabe der Woche]