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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche


Aufgabe:

Die Abbildung zeigt den Entwurf der Straßenplanung einer Stadt, in der Mathematik eine wichtige Rolle spielen wird.

\includegraphics[height=8.5cm]{TdM_03_A2_Bild1}

Bestimmen Sie jeweils die Anzahl der Möglichkeiten, von der Kreuzung Galois Avenue/Gauss Street $ K$ auf dem kürzesten Weg (Wege mit der gleichen Anzahl von Kreuzungen werden als gleich lang betrachtet) zu den mit $ A,$ $ B,$ $ C,$ $ D$ markierten Kreuzungen zu gelangen. Berücksichtigen Sie, dass die 2 markierten Kreuzungen des Cea Place gesperrt sind.


Antwort:

Von K nach A sind es Möglichkeiten.
Von K nach B sind es Möglichkeiten.
Von K nach C sind es Möglichkeiten.
Von K nach D sind es Möglichkeiten.


Lösung:

$ K \rightarrow A$:
Die Route von $ K$ nach $ A$ besteht aus 4 senkrechten und 3 waagerechten Straßensegmenten. Die verschiedenen Fahrtwege entsprechen also der Anzahl der Möglichkeiten, 3 waagerechte Segmente aus der Gesamtanzahl von 7 Segmenten auszuwählen, d.h. man erhält

$\displaystyle \binom{7}{3} = \frac{7\cdot6\cdot5}{2\cdot3} = 35\,$Möglichkeiten.

$ K \rightarrow B$:
Mögliche Routen von $ K$ nach $ B$ sind
$ K$ $ \longrightarrow$ $ A$ $ \longrightarrow$ $ B$    
$ K$ $ \longrightarrow$ Markov Ave/Riemann St $ \longrightarrow$ Markov Ave/Euler St $ \longrightarrow$ $ B$
$ K$ $ \longrightarrow$ Dirac Ave/Riemann St $ \longrightarrow$ Dirac Ave/Euler St $ \longrightarrow$ $ B$
Entsprechend erhält man

$\displaystyle 35 + \binom{6}{2} \cdot \binom{6}{1} + \binom{5}{1} \cdot \binom{7}{2} = 35 +
90 + 105 = 230\,$Möglichkeiten.

$ K \rightarrow C$:
Umfährt man den abgesperrten Bereich links, hat man

$\displaystyle \binom{5}{1} \cdot \binom{8}{2} = 140\,$Möglichkeiten.

Bei einer Route rechts um die gesperrten Kreuzungen sind es

$\displaystyle \binom{6}{2} \cdot \binom{7}{1} = 105\,$Möglichkeiten.

Insgesamt gibt es also 245 verschiedene Routen.

$ K \rightarrow D$:
Analog zum Fall $ K \rightarrow B$ ergeben sich

$\displaystyle \binom{6}{2} \cdot \binom{4}{1} + \binom{7}{3} = 60 + 35 =
95\,$Möglichkeiten.$\displaystyle $


[Aufgabe der Woche]