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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche


Aufgabe:

Die Abbildung zeigt die Bahn einer Billardkugel, die wieder zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Dieser geschlossene Streckenzug wird als Fünfbänder bezeichnet.

\includegraphics[width=0.6\linewidth]{TdM_08_A4_bild1.eps}

Bestimmen Sie die Koordinaten der durch die Kreise markierten fünf Reflexionspunkte. Konstruieren Sie ebenfalls vom gleichen Ausgangspunkt aus einen Drei- und einen Vierbänder, bei denen die Banden $ \bigcirc\hspace*{-2.8mm}3$ $ \bigcirc\hspace*{-2.8mm}2$ $ \bigcirc\hspace*{-2.8mm}1$ bzw. $ \bigcirc\hspace*{-2.8mm}2$ $ \bigcirc\hspace*{-2.8mm}3$ $ \bigcirc\hspace*{-2.8mm}4$ $ \bigcirc\hspace*{-2.8mm}1$ getroffen werden.


Antwort:

Fünfbänder:

$ \Big( a,$ $ b \Big)$, $ \Big( $ $ a, b \Big)$, $ \Big( 0,$ $ b \Big)$, $ \Big( a,$ $ b \Big)$, $ \Big( $ $ a, 0 \Big)$

Dreibänder:

$ \Big( $ $ a, b \Big)$, $ \Big( a,$ $ b \Big)$, $ \Big( $ $ a, 0 \Big)$

Vierbänder:

$ \Big( a,$ $ b \Big)$, $ \Big( $ $ a, b \Big)$, $ \Big( 0,$ $ b \Big)$, $ \Big( $ $ a, 0 \Big)$

(Geben Sie die Werte auf vier Dezimalstellen gerundet an.)


Lösung:

Die Reflexionen an den Banden lassen sich am einfachsten durch Spiegelungen des Billardtisches realisieren.

\includegraphics[width=0.6\linewidth]{TdM_08_A4_bild2.eps}

Beispielsweise wird der in der Aufgabe abgebildete Fünfbänder durch eine Gerade von $ \left(a/3, \,b/4\right)$ nach $ \left(11a/3, \,9b/4 \right)$ beschrieben, die durch die an den Banden $ \bigcirc\hspace*{-2.8mm}2$ $ \bigcirc\hspace*{-2.8mm}3$ $ \bigcirc\hspace*{-2.8mm}4$ $ \bigcirc\hspace*{-2.8mm}2$ und $ \bigcirc\hspace*{-2.8mm}1$ reflektierten Billardtische verläuft. Aus der Punktsteigungsform dieser Geraden,

$\displaystyle y-\frac{1}{4}\, b= \frac{3}{5}\, \frac{b}{a} \left(x-\frac{1}{3}\, a
\right)\, ,
$

kann man die durch Kreise markierten Schnittpunkte ablesen:

$\displaystyle \left( a, \frac{13}{20} \, b \right) \, , \quad
\left( \frac{19}...
...{37}{20} \, b \right) \, , \quad
\left( \frac{13}{4} \,a, 2 \, b \right) \, .
$

Unter Berücksichtigung der Spiegelungen entsprechen sie den Reflexionspunkten

$\displaystyle \left( a, \frac{13}{20} \, b \right) \, , \quad
\left( \frac{5}{...
... \frac{3}{20} \, b \right) \, , \quad
\left( \frac{3}{4} \,a, 0 \right) \, .
$


Dem Dreibänder entspricht die Gerade von $ \left(a/3, \,b/4\right)$ nach $ \left(5a/3, \,9b/4 \right)$ mit der Punktsteigungsform

$\displaystyle y-\frac{1}{4}\, b= \frac{3}{2}\, \frac{b}{a} \left(x-\frac{1}{3}\, a
\right) \,.
$

Man erhält die Schnittpunkte

$\displaystyle \left( \frac{5}{6} \, a,b \right) \, , \quad
\left( a, \frac{5}{4} \, b \right) \, , \quad
\left( \frac{3}{2} \,a, 2 \, b \right) \, ,
$

die den Reflexionspunkten

$\displaystyle \left( \frac{5}{6} \, a,b \right) \, , \quad
\left( a, \frac{3}{4} \, b \right) \, , \quad
\left( \frac{1}{2} \,a, 0 \right)
$

entsprechen.


Schließlich entspricht dem Vierbänder die Gerade

$\displaystyle y-\frac{1}{4}\, b= \frac{b}{a} \left(x-\frac{1}{3}\, a
\right)\, ,
$

und man erhält die Reflexionspunkte

$\displaystyle \left( a, \frac{11}{12} \, b \right) \, , \quad
\left( \frac{11}...
... \frac{1}{12} \, b \right) \, , \quad
\left( \frac{1}{12} \,a, 0 \right) \, .
$


[Aufgabe der Woche]