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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

Die Abbildung zeigt einen Kreis mit Radius 1 und sechs berührende Kreise mit Radius $ r.$


\includegraphics[width=0.5\linewidth]{TdM_08_A2_bild1.eps}


Bestimmen Sie $ r$ sowie den Inhalt $ F$ und den Umfang $ U$ der grau eingefärbten Fläche.


Antwort:

$ r = $  
$ F = $  
$ U = $  

(Geben Sie die Werte auf vier Dezimalstellen gerundet an.)

Lösung:

Verbindet man die Mittelpunkte der kleinen Kreise, so entsteht ein regelmäßiges Sechseck.

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{TdM_08_A2_bild2.eps}

Man erkennt, dass $ r=1/3$ ist.

Der Flächeninhalt der grauen Fläche ist die Differenz des Flächeninhalts des Sechsecks, das aus 6 gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge $ 2r$ zusammengesetzt ist,

$\displaystyle F_S=6 \cdot r \sqrt{(2r)^2-r^2}=6 \, \sqrt{3} \, r^2 = \frac{6\sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.1547 \,, $

und sechs Drittel-Kreisscheiben der einbeschriebenen Kreise

$\displaystyle F_K = 6 \cdot \frac{1}{3} \, \pi \, r^2 = 2 \, \pi \, r^2 = \frac{2\pi}{9} \approx 0.6981 \,. $

Damit folgt

$\displaystyle F= F_S - F_K = \frac{2\, \sqrt{3}}{3}-\frac{2}{9} \, \pi \approx 0.4566 \,. $



Der Umfang der grauen Fläche besteht aus sechs Drittel-Kreisumfängen

$\displaystyle U=6 \cdot \frac{1}{3} \, 2 \, \pi \, r=\frac{4}{3} \, \pi \approx 4.1888 \,. $

[Aufgabe der Woche]