Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] Englische Flagge
Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

Die Abbildung zeigt den Graphen des Polynoms

$\displaystyle p(x)=x^2(a-x^2) $

mit den Tangenten in den Punkten $ Q_i,$ die ein Quadrat bilden.

\includegraphics[width=8.3cm]{TdM_05_A3_bild1.eps}


Antwort:
$ P$ = $ \Big($ $ \sqrt a$, $ a^2 \Big)$
$ a$ =      
$ Q_1$ = $ \Big($ , $ \Big)$
$ Q_2$ = $ \Big($ , $ \Big)$
$ F$ =      

(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Lösung:

Aus $ p'(x)=2ax-4x^3=0$ folgt

$\displaystyle P=\left(\sqrt{\frac{a}{2}}\;,\;\frac{a^2}{4}\right), $

und für $ a=2$ erhält man den folgenden Graphen von $ p'$:
\includegraphics[width=6cm]{TdM_05_A3_bild3.eps}
Das Polynom $ p$ besitzt genau dann vier Punkte mit Steigung $ \pm 1,$ wenn die Extrema von $ p'$ die Ordinaten $ \pm 1$ besitzen, d.h. $ Q_1$ muss ein Wendepunkt sein. Somit gilt

$\displaystyle p''(x)=2a-12x^2\stackrel{!}{=}0 \quad \Rightarrow \quad a=6x^2 $

und eingesetzt in $ p'(x)=1$ folgt

$\displaystyle 2(6x^2)x-4x^3=1 \quad \Rightarrow \quad x^3=\dfrac{1}{8} \quad \Rightarrow \quad x=\frac{1}{2}\,, $

d.h. $ a=3/2$ und $ Q_1=(1/2\,,5/16).$

Für die Abszisse von $ Q_2$ gilt somit

$\displaystyle 3x-4x^3=-1. $

Aus Symmetriegründen ist $ x=-1/2$ eine Lösung. Als weitere Lösungen erhält man mit Hilfe von Polynomdivision

\begin{displaymath} \begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrr} (4x^3 & & -3x & -1&\hspac... ... & -1 \\ & -2x^2 & -x \\ \cline{2-4} & &-2x & -1 \end{array}\end{displaymath}

und der Mitternachtsformel

$\displaystyle x_{2,3}=\frac{1}{4}\pm\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\pm\frac{3}{4} $

und damit $ Q_2=(1, 1/2).$

Um die Fläche des Quadrats zu bestimmen, berechnet man die Schnittpunkte der Tangenten mit der $ y$-Achse:

\begin{displaymath} \begin{array}{rrrrrrrrr} Q_1: & y &=&\dfrac{5}{16}+(0-1/2)&... ...] Q_2: & y &=&\dfrac{1}{2}-(0-1)&=&\dfrac{3}{2}\ . \end{array}\end{displaymath}

Aus der Länge $ \ell=3/2+3/16=27/16$ der Diagonalen erhält man die Fläche

$\displaystyle F=\frac{1}{2}\,\ell^2=\frac{27^2}{2\cdot 16^2}=\frac{729}{512}\approx 1.4238. $

[Aufgabe der Woche]