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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

Das Logo
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{moLogo.eps}
entsteht durch Abrollen eines Kreises mit Radius 1. Für ein leicht modifiziertes ,,M`` mit Ecken $ (\pm a, \pm a)$ und $ (0,0)$ ist dies in den folgenden Abbildungen skizziert.
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{moLogo1.eps}                  \includegraphics[width=0.6\linewidth]{moLogo2.eps}

Lesen Sie aus den maßstabsgetreuen Zeichnungen die Anzahl $ n$ der Umdrehungen des Zeigers bei einer Umrundung des M's ab.
Bestimmen Sie die Länge $ x$, die Drehwinkeländerung $ \alpha_k$ des Zeigers zwischen den Positionen $ k$ und $ k+1$ in Abhängigkeit von der Länge $ a$, sowie die Länge $ a$ selbst.


Antwort:

$ n$ =
$ x$ =
$ \alpha_1 $ = $ a$ $ +$
$ \alpha_4 $ = $ a$ $ +$
$ \alpha_5 $ = $ a$ $ +$
$ \alpha_6 $ = $ a$ $ +$
$ \alpha_7 $ = $ a$ $ +$
$ a$ =
   
(Geben Sie die Lösungen auf drei Dezimalstellen gerundet an.)

Lösung:

Aus den Zeichnungen erkennt man

$\displaystyle n=6.$


Aus der Skizze folgt

$\displaystyle x=1+\sqrt{2} \approx 2.414.$


Außerdem ergibt sich
$\displaystyle \hspace*{1.8cm} \alpha_1 =$ $\displaystyle \sqrt{2}a-1$ $\displaystyle \approx 1.414a-1$  
$\displaystyle \alpha_4 =$ $\displaystyle \pi$ $\displaystyle \approx 3.142$  
$\displaystyle \alpha_5 =$ $\displaystyle 2a-x$ $\displaystyle \approx 2a-2.414$  
$\displaystyle \alpha_6 =$ $\displaystyle \sqrt{2}a-x$ $\displaystyle \approx 1.414a-2.414$  
$\displaystyle \alpha_7 =$ $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ $\displaystyle \approx 0.785.$  

Der Gesamtwinkel ist

$\displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^7{\alpha_k}= (4\sqrt{2}+8)a-4x-2+4\pi=(4\sqrt{2}+8)a-6-4\sqrt{2}+4\pi , $

und die Übereinstimmung mit $ 6 \cdot 2\pi$ ergibt
$\displaystyle (4\sqrt{2}+8)a-6-4\sqrt{2}+4\pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 12\pi$  
$\displaystyle \Longrightarrow\qquad a$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{3+2\sqrt{2}+4\pi}{4+2\sqrt{2}} \approx 2.694\hdots$  

[Aufgabe der Woche]