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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

Die Funktion

$\displaystyle f(x) = 1 + \frac{a-bx}{x^3} $

hat an der Stelle $ x = 1$ eine doppelte Nullstelle.


\includegraphics[width=.5\linewidth]{TdM_1994_3}


a)     Bestimmen Sie die Parameter $ a$ und $ b$ .
b) Bestimmen Sie weitere Nullstellen von $ f$ .
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt $ A_c$ des schraffierten Bereiches für $ c = 2$ sowie $ \displaystyle\lim_{c\to\infty} A_c$ .
d) Skizzieren Sie den Graph für $ x < 0$ .


Antwort:

a)     Parameter $ a=$ $ ,$ $ b=$
b) Weitere Nullstelle $ z=$
c) Flächeninhalt $ A_c=$ $ ,$     Grenzwert $ \displaystyle\lim_{c\to\infty} A_c=$
d) Der Graph der Funktion für $ x < 0$ ist:    keine Angabe

\includegraphics[bb=140 345 481 620,clip,width=.35\linewidth]{TdM_1994_3_2} \includegraphics[bb=140 345 480 630,clip,width=.35\linewidth]{TdM_1994_3_4}
\includegraphics[bb=140 345 480 630,clip,width=.35\linewidth]{TdM_1994_3_3} \includegraphics[bb=140 345 480 620,clip,width=.35\linewidth]{TdM_1994_3_1}

Lösung:

a)
Bestimmung der Parameter $ a$ und $ b$:
    $\displaystyle f(1) = 0 \quad\Rightarrow\quad 1 + a - b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = a + 1$  
    $\displaystyle f'(x) = -\frac{b}{x^3} - 3\frac{a-bx}{x^4}$  
    $\displaystyle f'(1) = 0 \Rightarrow -(a+1)-3\cdot (-1) = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 2$  
    $\displaystyle f(x) = 1 + \frac{2-3x}{x^3}.$  

b)
Neben der doppelten Nullstelle in $ x = 1$ hat $ f$ noch eine weitere Nullstelle $ z$:

$\displaystyle 0 = x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x-z)\quad \Rightarrow\quad z = -2. $

c)
$ f(x) = 1 \Rightarrow x = 2/3$. Damit ergibt sich für den Flächeninhalt $ A_c$:
    $\displaystyle A_c = \int_{2/3}^c \frac{3x-2}{x^3}\,dx = \left[-\frac{3}{x} + \f... ...2}\right]_{2/3}^c = \frac{9}{4} + \left(\frac{1}{c^2} - \frac{3}{c}\right) = 1;$  
    $\displaystyle \lim_{c\to\infty} A_c = \frac{9}{4} = 2.25.$  

d)
Der Graph der Funktion für $ x < 0$ ist:


\includegraphics[width=0.5\textwidth]{TdM_1994_3_1}

[Aufgabe der Woche]