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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche


Aufgabe:

Wie viele vierstellige Zahlen enthalten

a) eine oder mehrere Ziffern 0,
b) ausschließlich verschiedene Ziffern,
c) genau zwei gleiche Ziffern,
d) die Ziffernfolge ,,1 2``?

Antwort:

a)              b)              c)              d)    


Lösung:

Es gibt
$ 9999 - 999 = 9000$
4-stellige Zahlen.

a)
Es gibt $ 9^4 = 6561$ Möglichkeiten ohne die Ziffer 0, also
$ 9000 - 6561 = 2439$ Möglichkeiten
mit der Ziffer 0.

b)
Es gibt 9 verschiedene Möglichkeiten für die erste Ziffer $ (\neq 0)$,
dann (10 - 1) verschiedene Möglichkeiten für die zweite Ziffer (0 ist möglich, $ \neq$ erste Ziffer),
(10 - 2) verschiedene Möglichkeiten für die dritte Ziffer

und (10 - 3) verschiedene Möglichkeiten für die vierte Ziffer, also
$ 9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536$ Möglichkeiten.

c)

Bei allen möglichen Positionen der zwei gleichen Ziffern,

x x ? ?, x ? x ?, x ? ? x, ? x x ?, ? x ? x, ? ? x x,
gibt es jeweils $ 9 \cdot 9 \cdot 8$ Möglichkeiten, insgesamt also
$ 6 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 8 = 3888$ Möglichkeiten.

d)
Je nach Platzierung der Ziffern 1 und 2 erhält man

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcrcl}
1 2 ? ? & : & 10 \cdot 10 & = & 100, ...
... \cdot 10 & = & 90\ \text{M\uml {o}glichkeiten},
\end{array}
\end{displaymath}

insgesamt also
$ 100 + 90 + 90 - 1 = 279$ Möglichkeiten,
wobei berücksichtigt wurde, dass 1212 doppelt gezählt wurde.


[Aufgabe der Woche]