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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1200: Bestimmung eines Koordinatensystems mit Hilfe einer Fixpunktmenge

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Gegeben ist die Matrix

$\displaystyle A=\frac{1}{3}\left(\begin{matrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix}\right) $

sowie die Vektoren $ s=(2,2,-2)$ und $ t=(1,-1,0)$. Damit werden die beiden affinen Abbildungen $ \sigma\colon\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\colon v\mapsto Av+s$ und $ \tau\colon\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\colon v\mapsto Av+t$ definiert. Es ist $ \mathrm{Fix}(\sigma)=\Big{\{} v \in \mathbb{R}^3 \Big\vert \sigma(v)=v\Big{\}}$.
  1. Wählen Sie einen Punkt $ U\in \mathrm{Fix}(\sigma)$ und finden Sie eine orthogonale Basis $ b_1,b_2,b_3$ so, dass $ U+b_1\in\mathrm{Fix}(\sigma)$ und $ U+b_2\in\mathrm{Fix}(\sigma)$. Damit ist ein Koordinatensystem $ \mathbb{U}=(U;b_1,b_2,b_3)$ gegeben.

  2. Bestimmen Sie die Koordinatentransformation $ \, _{\mathbb{U}}\kappa_{\mathbb{E}}$.

  3. Beschreiben Sie die Abbildungen $ \sigma, \tau$ und $ \sigma\circ\tau$ bezüglich des Koordinatensystems $ \mathbb{U}$.

(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006