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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1215: Beweise zu Eigenwerten und Eigenvektoren einer gegebenen Matrix

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  1. Es sei $ A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ eine Matrix mit den Eigenwerten $ \lambda_1,\ldots,\lambda_k$. Weiter sei $ v$ ein Vektor, der sich folgendermaßen zerlegen lässt: $ v=\sum^{k}_{j=1}v_j$, wobei $ v_j\in V(\lambda_j)$ für $ i\in\{1,\ldots, k\}$.

    Zeigen Sie: $ A\,v=\sum^{k}_{j=1}\lambda_j v_j$.

  2. Gegeben sei nun

    $\displaystyle \renewedcommand{arraystretch}{1.4} A=\left(\begin{matrix} \frac{8... ...\frac{84}{41} \\ \frac{8400}{41} & 200 &-\frac{8441}{41} \end{matrix}\right) $

    Überprüfen Sie, dass die Vektoren $ v_1=(100,1,100)^t$ und $ v_2=(1,0,1)^t$ Eigenvektoren von $ A$ sind und geben Sie die zugehörigen Eigenwerte an.

    Berechnen Sie für $ v=\left(\frac{2342}{98},\frac{23}{98},\frac{1171}{49}\right)^t$ den Vektor $ A\,v$. Verwenden Sie dazu (1), indem Sie $ v=w_1+w_2$ zerlegen mit $ w_1\in\operatorname{Span}(v_1)$ und $ w_2\in\operatorname{Span}(v_2)$.

    Hinweis: Finger weg vom Taschenrechner!

(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)

siehe auch:

[Lösungen]
  automatisch erstellt am 6.  2. 2006