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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1335: Hessematrix einer impliziten Funktion und Gültigkeit einer partiellen Differentialgleichung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f(x_1,x_2,y)=x_1 x_2+(1+x_2)y + y^3\,. $

a)
Zeigen Sie, dass $ f(x_1,x_2,y)=0$ im Punkt $ (0,0,0)$ lokal nach $ y=g(x_1,x_2)$ auflösbar ist.
b)
Zeigen Sie, dass $ g$ zweimal stetig differenzierbar ist. Bestimmen Sie $ g'(0,0)$ und die Hessematrix $ H_g(0,0)$ .
c)
Zeigen Sie, dass $ g$ der partiellen Differentialgleichung $ (1+6gg_{x_2})g_{x_1}+(1+x_2+3g^2)g_{x_1x_2}=0$ genügt.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

Lösungen:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 14.  2. 2008