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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1349: Schwerpunkt einer regulären Menge

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  1. Sei $ B\subseteq\mathbb{R}^2$ ein regulärer Bereich mit positiv orientierter Randkurve $ \gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^2$ , und es gelte $ \mathrm{vol}(B)>0$ .

    Zeige, daß für den Schwerpunkt $ (x_S,y_S)^\mathrm{t}$ von $ B$ gilt

    \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} x_S & = & -\dfrac{1}{\mathrm{vol}(B)}\dis... ...vol}(B)}\displaystyle\int_\gamma xy\;\mathrm{d}y\;. \end{array}\end{displaymath}

  2. Es sei $ B\subseteq\mathbb{R}^2$ der Bereich im 1. Quadranten, der von den Geraden $ y=x$ , $ y=1/x$ und $ y=x/4$ begrenzt wird. Bestimme mit Hilfe des Greenschen Integralsatzes den Inhalt von $ B$ . Bestimme ferner den Schwerpunkt von $ B$ .

    Skizze der Berandungskurven.

    \includegraphics[width = 8cm]{p3.eps}

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

siehe auch:

[Lösungen]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006