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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 648: Nichtlineare Schwingungsdifferentialgleichung

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Betrachten Sie die nichtlineare Schwingungsdifferentialgleichung

$\displaystyle u''+ u-u^3=0\,, $

welche das Verhalten eines Pendels qualitativ gut beschreibt.
a)
Bestimmen Sie ein erstes Integral $ E(u,u')$ und skizzieren Sie damit die Lösungskurven in der Phasenebene. Identifizieren Sie alle Gleichgewichtspunkte sowie die periodischen und nichtperiodischen Lösungen.
Nun seien zusätzlich die Anfangsbedingungen $ u(0)=0,\ u'(0)=v_0$ gegeben.
b)
Bestimmen Sie $ v^*$ so, daß sich für $ \vert v_0\vert<v^*$ periodische Lösungen und ansonsten nichtperiodische Lösungen ergeben.
c)
Berechnen Sie für $ v_0 <v^*$ die Schwingungsamplitude $ A$ und geben Sie einen Ausdruck für die Periode $ T$ an.
d)
Berechnen Sie die Lösung explizit für den Spezialfall $ v_0=v^*$ und erläutern Sie das Schicksal eines Schiffschaukelfahrers, der in eine solche Lage gerät.

(Autor: Klaus Höllig)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 18.  1. 2017