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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 754: Diskrete Fourier-Transformation, Approximation von Ableitungen


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Sind die Funktionswerte $ (u_0, u_1, \dots, u_{n-1})^{\rm {t}}$ einer $ 2\pi$-periodischen Funktion $ u$ an den Stellen $ 0, h, \dots,
(n-1)h$, $ \; h=2\pi / n$, bekannt, so lassen sich die Funktionswerte der Ableitung näherungsweise durch

$\displaystyle u'(jh) \approx u_j'=\frac{u_{j+1}-u_{j-1}}{2h}
$

berechnen.
a)
Wie lässt sich die diskrete Fourier-Transformationvon $ (u_0', u_1', \dots, u_{n-1}'\,)^{\rm {t}}$ aus der von $ (u_0, u_1, \dots, u_{n-1})^{\rm {t}}$ berechnen?
b)
Wie lässt sich eine Näherung für die diskrete Fourier-Transformation der zweiten Ableitung berechnen?
c)
Berechnen Sie mit Hilfe des Ergebnisses aus b) eine Näherungslösung für die Differentialgleichung

$\displaystyle -u'' + u = f(x), \quad 0 \leq x < 2 \pi\,.
$

(Autor: Klaus Höllig)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 18.  1. 2017