Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Aufgabe 879: Anwendungen des Satzes von Taylor, Ungleichungen

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	Aufgabe 879: Anwendungen des Satzes von Taylor, Ungleichungen

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Leite folgende Ungleichungen her.

$\mbox{$\vert\log(1+x)-x\vert\leq x^2/2\,$}$ für $\mbox{$x\in\mathbb{R}_{\geq 0}$}$ .
$\mbox{$\vert\log(1+x)-x\vert\leq 2x^2\,$}$ für $\mbox{$x\in\mathbb{R}_{\geq -1/2}$}$ .
$\mbox{$\vert\log(1+x)-(x-x^2/2)\vert\leq x^3/3\,$}$ für $\mbox{$x\in\mathbb{R}_{\geq 0}$}$ .
$\mbox{$\vert(1+x)^\alpha - \left(1+\alpha x+ {\alpha\choose 2}x^2\right)\vert\leq c\left\vert{\alpha\choose 3}\right\vert\vert x\vert^3\,$}$ für $\mbox{$\alpha\in\mathbb{R}$}$ und $\mbox{$x\in(-1/2, 1/2)$}$ , wobei $\mbox{$c=\max\left\{(1/2)^{\alpha-3},\ (3/2)^{\alpha-3}\right\}$}$ .

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

Lösungen:

automatisch erstellt am 17. 12. 2007