Mathematik-Online-Lexikon: Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

	[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
	Mathematik-Online-Lexikon:
	Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Für positive relle Zahlen $a_1,\dots,a_n$ ist das arithmetische nicht kleiner als das geometrische Mittel:

$\displaystyle \frac{a_1 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot \ldots \cdot a_n} \,.$

Allgemeiner gilt für positive Gewichte $\lambda_i$ mit $\sum_{i=1}^n\lambda_i = 1$

$\displaystyle \lambda_1 a_1 +\cdots+\lambda_n a_n \geq a_1^{\lambda_1}\cdots a_n^{\lambda_n} \,.$

Die Gleichheit gilt genau dann wenn $a_1=\cdots=a_n$ .

Erläuterung:

automatisch erstellt am 25. 1. 2006