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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel


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Für positive relle Zahlen $ a_1,\dots,a_n$ ist das arithmetische nicht kleiner als das geometrische Mittel:

$\displaystyle \frac{a_1 + \dots + a_n}{n} \geq
\sqrt[n]{a_1 \cdot \ldots \cdot a_n}
\,.
$

Allgemeiner gilt für positive Gewichte $ \lambda_i$ mit $ \sum_{i=1}^n\lambda_i = 1$

$\displaystyle \lambda_1 a_1 +\cdots+\lambda_n a_n \geq
a_1^{\lambda_1}\cdots a_n^{\lambda_n}
\,.
$

Die Gleichheit gilt genau dann wenn $ a_1=\cdots=a_n$.


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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013