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Mathematik-Online-Lexikon:

Entwicklung harmonischer Funktionen auf einer Kugel nach Kugelfunktionen


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Eine auf der Kugel $ D:\ r=\vert(x_1,x_2,x_3)\vert<R$ harmonische Funktion $ u$, d.h. eine Lösung der Laplace-Gleichung

$\displaystyle \Delta u(x) = 0,\quad x\in D\,,
$

läßt sich in Kugelkoordinaten $ (r,\vartheta,\varphi)$ nach Kugelflächenfunktionen entwickeln:

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
\displaystyle
u(r,\vartheta,\varphi) =
\su...
...k\vert}(\cos\vartheta)\,
e^{\mathrm{i}k\varphi}
\,,
\end{array}\end{displaymath}

mit

$\displaystyle P_{n,k}(z) = \frac{1}{2^n n!}\,(1-z^2)^{k/2}
\left(\frac{d}{dz}\right)^{n+k}
(z^2-1)^n,\quad k=0,\ldots,n
\,,
$

den Legendre-Funktionen.

Aufgrund der Orthogonalität der Basisfunktionen erhält man die Koeffizienten durch Bilden von Skalarprodukten mit den Randwerten:

$\displaystyle c_{n,k} = \frac{(2n+1)(n-k)!}{2\pi(n+k)!}
\int_0^{2\pi}\int_0^\p...
...(\cos\vartheta)e^{\mathrm{i}k\varphi}\,
\sin\vartheta\,d\vartheta d\varphi
\,.
$


[Verweise]

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013