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Mathematik-Online-Lexikon:

Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer reeller Matrizen

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Reelle symmetrische Matrizen sind spezielle normale Matrizen und daher unitär diagonalisierbar. Ihre Diagonalisierung ist bei der Hauptachsentransformation von Quadriken von zentralem Interesse. Daher werden die Eigenschaften ihrer Eigenwerte und Eigenvektoren gesondert zusammengestellt.

Sei $ A$ eine reelle symmetrische $ n \times n$ - Matrix.

1.
Alle Eigenwerte von $ A$ sind reell.
2.
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind zueinander orthogonal.
3.
$ \mathbb{R}^n$ besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $ A .$
4.
Ist $ \{v_1, \ldots , v_n \}$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $ A$, dann ist die Matrix $ T$, deren Spalten aus den Vektoren $ v_1, \ldots , v_n$ gebildet werden,

$\displaystyle T = (v_1, \ldots , v_n) $

orthogonal, d.h. es gilt

$\displaystyle T^{-1} = T^{\operatorname t}.$

5.
Ist $ \{v_1, \ldots , v_n \}$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $ A$, sei $ T = (v_1, \ldots , v_n)$ und bezeichnet $ \lambda_i $ den zu $ v_i$ gehörigen Eigenvektor, dann ist $ T^{\operatorname t}A T $ eine Diagonalmatrix. Es gilt

$\displaystyle T^{\operatorname t}A T = D (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) , .$

d.h. die Eigenwerte $ \lambda_i $ stehen in der Hauptdiagonalen genau in der Reihenfolge, die der Anordnung der zugehörigen Eigenvektoren $ v_i$ als Spaltenvektoren von $ T$ entspricht.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006