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Mathematik-Online-Lexikon:

Koordinatentransformation in Matrizendarstellung

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Es sei $ \mathbb{E}=(O;e_1,\ldots,e_n)$ das Standardkoordinatensystem für $ K^n$.

Weiter seien

$\displaystyle {{\color{darkblue} \mathbb{F}}}=(P;f_1,\ldots,f_n) \,,\quad {{\color{darkorange}\mathbb{G}}}=(Q;g_1,\ldots,g_n)$    und $\displaystyle \quad {{\color{darkgreen} \mathbb{H}}}=(R;h_1,\ldots,h_n) $

affine Koordinatensysteme. Wir bilden die Matrizen

$\displaystyle F=(f_1,\ldots,f_n) \,,\quad G=(g_1,\ldots,g_n)$    und $\displaystyle \quad H=(h_1,\ldots,h_n) \,. $

Die Koordinatentransformation $ \vphantom{\kappa}_{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}}$ ist gegeben als Komposition $ \vphantom{\kappa}_{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_{{\color{darkblue}\ma... ...mathbb{E}\circ\vphantom{\kappa}_\mathbb{E}\kappa_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}}$,

$\displaystyle \llap{also }\quad \vphantom{\kappa}_{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}}(v)$ $\displaystyle = \vphantom{\kappa}_{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_\mathb... ...om{\kappa}_{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_\mathbb{E}\left(F\,v+P\right)$    
  $\displaystyle = G^{-1}\left(F\,v+P-Q\right) = G^{-1}F\,v + G^{-1}(P-Q) \,.$    

Allgemein gilt

$\displaystyle \vphantom{\kappa}_{{\color{darkgreen}\mathbb{H}}}\kappa_{{\color{... ...ppa}_{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}} \,. $

siehe auch:

[Erläuterungen]
  automatisch erstellt am 15.  8. 2006