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Mathematik-Online-Lexikon:

Isomorphie der eigentlichen Lorentz-Gruppe mit SL(2,C)/{E} und SO(3) mit SU(2)/{E}

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Wir betrachten die Menge $ V = \{ X \in Mat(2, \mathbb{C}) \mid \overline{X}^{\,t} = X \}$ der hermiteschen 2$ \times$2-Matrizen zusammen mit einer symmetrischen Bilinearform $ \sigma: V \times V \rightarrow \mathbb{R}:$

$\displaystyle \sigma(X,Y) = -\frac{1}{2}\Big{[} det(X+Y) - detX - detY \Big{]} $

Durch Nachrechnen erhält man: $ \hspace{0.5cm}V = \Big{\{} \begin{pmatrix}\alpha & \bar{z}\\ z & \beta \end{pm... ...\beta \in \mathbb{R} \hspace{0.4cm} und \hspace{0.4cm} z \in \mathbb{C}\Big{\}}$
Wir definieren $ \phi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow V,\hspace{1cm} \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d\... ...pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}a+d & b + ic\\ b - ic & -a+d \end{pmatrix}$.
$ \phi$ ist eine Isometrie von $ (\mathbb{R}^{4}, h)$ nach $ (V,\sigma)$, d. h. $ O(3,1) \cong O(V, \sigma)$.
Insbesonders gilt dann, dass $ SO^{+}(3,1)\hspace{0.2cm}\cong\hspace{0.2cm} L$, wobei $ L \le O(V, \sigma)$.
Es kann gezeigt werden, dass

$\displaystyle SO^{+}(3,1) \hspace{0.2cm} \cong \hspace{0.2cm}L \hspace{0.2cm} \cong \hspace{0.2cm}SL(2,\mathbb{C}) / \{\pm E\} \hspace{3cm}(1)$

Als einfache Folgerung aus dieser Isomorphie erhält man folgendes Ergebnis:

$\displaystyle SU(2) / \{\pm E\} \cong SO(3) \hspace{3cm}(2)$

(Autor: Borgart)

siehe auch:

[Erläuterungen]
  automatisch erstellt am 28. 10. 2006