Mathematik-Online-Lexikon: Lie-Algebra

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	Lie-Algebra

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Übersicht

Sei $\mathbb{K}$ ein Körper. Eine Lie-Algebra über $\mathbb{K}$ ist ein $\mathbb{K}$ -Vektorraum

zusammen mit einer Multiplikation

$\displaystyle V\times\ V\rightarrow V,~~(x,y)\mapsto \left[x,y\right]~~~$ ( $\left[\cdot,\cdot\right]$ heißt Lie-Klammer)

mit folgenden Eigenschaften

$\left[x,y\right]$ ist $\mathbb{K}$ -bilinear $\forall x,y\in V$
$\left[x,x\right]=0~~\forall x\in V$
Es gilt die Jacobi-Identität $\left[\left[x,y\right],z\right]+\left[\left[y,z\right],x\right]+\left[\left[z,x\right],y\right]=0~~\forall x,y,z\in V$

Seien $\cal L$ und $\cal H$ Lie-Algebren über $\mathbb{K}$ . Eine $\mathbb{K}$ -lineare Abbildung $\alpha:{\cal L}\rightarrow{\cal H}$ heißt Homomorphismus, falls gilt

$\displaystyle \alpha\left(\left[x,y\right]\right)=\left[\alpha\left(x\right),\alpha\left(y\right)\right]~~\forall x,y\in{\cal L}.$

Ist $\alpha$ bijektiv, dann heißt $\alpha$ Isomorphismus.

Aus Obigem folgt, dass die Multiplikation anti-kommutativ ist, d.h. $\left[x,y\right]=-\left[y,x\right]$ .
Ein Untervektorraum von $\cal L$ heißt Teilalgebra, wenn $\left[U,U\right]\subseteq U$ ist.
Ein Ideal einer Lie-Algebra $\cal{L}$ ist wie üblich definiert:

$\displaystyle \forall x\in {\cal L} \forall y\in I:~\left[x,y\right]\in I \Leftrightarrow\left[{\cal L},I\right]\subseteq I.$
Das Bild eines Homomorphismus $\alpha:{\cal L}\rightarrow{\cal H}$ ist eine Unteralgebra von $\cal H$ . Weiter ist der Schnitt beliebig vieler Unteralgebren einer Lie-Algebra wieder eine Unteralgebra.
Eine Lie-Algebra $\cal L$ heißt einfach, wenn $\cal L$ und 0 die einzigen Ideale sind.
Eine Lie-Algebra $\cal L$ heißt halbeinfach, wenn sie direkte Summe einfacher Ideale ist.

(Autor: Hablizel)

Beispiel:

Beispiele für Lie-Algebren

[Verweise]

automatisch erstellt am 8. 3. 2007