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Mathematik-Online-Lexikon:

Givens-Transformation

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Eine Givens-Transformation

$\displaystyle x \mapsto \left(\begin{array}{rr} c & -s \\ s & c \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) $

mit

$\displaystyle c$ $\displaystyle = \sigma v_1 / \Vert v \Vert _2 \,, \quad s =-\sigma v_2 / \Vert v \Vert _2$    
$\displaystyle \sigma$ $\displaystyle = \left\{ \begin{array}{ll} \text{sign} \left( v_1 \right)\, , & \text{für }v_1 \neq 0 \\ 1 \,, & \text{für } v_1 =0 \end{array} \right.$    

ist eine Rotation, die den Vektor $ v=\left( v_1 , v_2 \right)^\mathrm{t}$ auf $ \left( \sigma \Vert v \Vert _2, 0 \right)^t$ abbildet.

Angewandt auf eine Matrix verändert eine Givens-Transformation zwei Zeilen:

$\displaystyle \left( \begin{array}{c} p_1 \dots p_m \\ q_1 \dots q_m \end{array... ...ight) \mapsto \left( \begin{array}{c} cp-sq \\ sp+cq \end{array} \right) \,. $

Wählt man dabei als definierenden Vektor $ v = \left( p_1, q_1 \right)^\mathrm{t}$, so wird der Eintrag $ q(1)$ annulliert.

Erläuterung:

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013