Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon:

Diagonalisierbarkeit symmetrischer Matrizen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Sei $ A$ eine symmetrische, reelle $ (n \times n)$-Matrix. Dann besitzt sie $ n$ nichttriviale, paarweise verschiedene, zueinander orthogonale Eigenvektoren, d.h. es gibt eine Orthonormalbasis von $ {\mathbb{R}^n}$ bestehend aus Eigenvektoren von $ A$. Ist $ \{v_1, v_2,\dots, v_n\}$ eine solche Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $ A$, so gilt mit $ T = (v_1, v_2,\dots, v_n)$, daß

$\displaystyle T^{-1}AT = D = \left( \begin{array}{cccc} \lambda_1 & 0 & \cd... ...& \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \end{array} \right) , $

wobei $ \lambda_i$ der zu $ v_i$ gehörende Eigenvektor ist. Es gilt $ T^{-1} = T^{\operatorname t}$, d.h. symmetrische reelle Matrizen sind orthogonal diagonalisierbar.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006