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Mathematik-Online-Lexikon:

Zufallsvariable und Erwartungswert


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Zufallsvariablen sind von den Elementarereignissen abhängige Meßgrößen, über die wahrscheinlichkeitstheoretische Aussagen getroffen werden sollen. So z.B. kann man sich fragen, welche Meßgröße im Mittel erwartet werden kann.

Eine Zufallsvariable $ \mbox{$X$}$ ist eine Funktion $ \mbox{$X:\Omega\longrightarrow \mathbb{R}$}$, für die $ \mbox{$\{\omega\in\Omega\; \vert\; X(\omega)\leq t\}$}$ ein meßbares Ereignis ist für alle $ \mbox{$t\in\mathbb{R}$}$. Die Wahrscheinlichkeit $ \mbox{$F(t) := P(\{\omega\in\Omega\; \vert\; X(\omega)\leq t\})$}$ dieses Ereignisses in Abhängigkeit von $ \mbox{$t\in\mathbb{R}$}$ heißt auch Verteilungsfunktion von $ \mbox{$X$}$.

Für $ \mbox{$t\in\mathbb{R}$}$ schreiben wir auch $ \mbox{$(X = t) :=\{\omega\in\Omega\; \vert\; X(\omega) = t\}$}$, $ \mbox{$(X \leq t) := \{\omega\in\Omega\; \vert\; X(\omega) \leq t\}$}$ etc.

Sei $ \mbox{$I$}$ eine Indexmenge. Die Zufallsvariablen $ \mbox{$X_i$}$ für $ \mbox{$i\in I$}$ heißen unabhängig, falls die Ereignisse $ \mbox{$(X_{i_1}\leq t_1),\dots, (X_{i_n}\leq t_n)$}$ unabhängig sind für alle endlichen Indextupel $ \mbox{$(i_1,\dots i_n)$}$ und je alle $ \mbox{$t_j\in [-\infty,+\infty]$}$, $ \mbox{$1\leq j\leq n$}$.

Existiert eine integrierbare Funktion $ \mbox{$f:\mathbb{R}\longrightarrow [0,\infty)$}$ mit

$ \mbox{$\displaystyle
F(t) = \int_{-\infty}^t f(x)\,dx\; ,
$}$
so heißt $ \mbox{$f$}$ die Dichte von $ \mbox{$X$}$.

Der Erwartungswert von $ \mbox{$X$}$ ist dann definiert als

$ \mbox{$\displaystyle
{\operatorname{E}}(X) := \int_{-\infty}^{+\infty} x\, f(x)\, dx
$}$
falls dieses Integral absolut konvergiert.

Ist $ \mbox{$X$}$ diskret verteilt, d.h. $ \mbox{$X(\Omega) = \{ t_i\; \vert\; i\in I\subseteq \mathbb{N}\}$}$, setzen wir analog

$ \mbox{$\displaystyle
{\operatorname{E}}(X)\; :=\; \sum_{i\in I} t_i\, P(X = t_i)\; .
$}$

Die Varianz $ \mbox{${\operatorname{Var}}(X)$}$, mit der die zu erwartende Abweichung vom Erwartungswert gemessen werden soll, ist definiert als

$ \mbox{$\displaystyle
{\operatorname{Var}}(X)\; :=\; {\operatorname{E}}\big((X - {\operatorname{E}}(X))^2\big)\; .
$}$
Abweichungen vom Erwartungswert werden so quadratisch gewichtet.

Im diskreten Fall ergibt sich also

$ \mbox{$\displaystyle
{\operatorname{Var}}(X)\; =\; \left(\sum_{i\in I} t_i^2\, P(X = t_i)\right) -
\bigl(E(X)\bigr)^2 \; .
$}$

Es gelten für Zufallsvariablen $ \mbox{$X$}$ und $ \mbox{$Y$}$ die folgenden Regeln.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

[Beispiele] [Verweise]

  automatisch erstellt am 25.  1. 2006