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Mathematik-Online-Lexikon:

Zeilenstufenform eines Gleichungssystems

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Ein lineares Gleichungssystem mit einer $ (m \times n)$-Koeffizientenmatrix lässt sich mit Gauß-Transformationen auf Zeilenstufenform (Echelon-Form) transformieren:

$\displaystyle Ax = b \rightarrow \underbrace{ \left(\begin{array}{cccc ccc} ... ...ht) = \left(\begin{array}{c} c_1 \\ \vdots \\ c_m \end{array}\right)\, . $

Dabei sind die so genannten Pivots

$\displaystyle p_1=a'_{1,j_1},\ldots,p_k=a'_{k,j_k},\quad k \leq m, \quad 1\le j_1<\cdots<j_k\le n\, , $

ungleich Null und $ k$ ist der Rang von $ A$.

Der $ k$-te Transformationsschritt verläuft wie folgt:

  1. Ein von Null verschiedenes Matrixelement $ p_k$ mit kleinstem Spaltenindex und Zeilenindex $ \geq k$ wird als Pivotelement gewählt und durch Zeilenvertauschung in die Position $ (k, j_k)$ gebracht.

    Existiert kein Pivotelement, ist die Zeilenstufenform erreicht.

  2. Durch Subtraktion von Vielfachen der Zeile $ k$ werden die Matrixelemente unterhalb des Pivots annulliert.

Beispiel:

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013