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Mathematik-Online-Lexikon:

Banachscher Fixpunktsatz


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Ist $ g$ eine kontrahierende Abbildung, die eine nichtleere, abgeschlossene Menge $ D\subset\mathbb{R}^n$ in sich abbildet, d.h. gilt mit $ c<1$, dann besitzt $ g$ einen eindeutigen Fixpunkt $ x_*=g(x_*)\in D$. Ausgehend von $ x_0\in D$ kann $ x_\ast$ durch die Iterationsfolge

$\displaystyle x_0,\, x_1 = g(x_0),\, x_2=g(x_1),\,\ldots
$

approximiert werden. Für den Fehler gilt

$\displaystyle \Vert x_*-x_k\Vert\le \frac{c^k}{1-c}\, \Vert x_1-x_0\Vert
$

d.h. die Iterationsfolge konvergiert für jeden Startwert linear.

Der Fixpunktsatz gilt allgemein in vollständigen metrischen Räumen. Da die Translationsinvarianz und Homogenität der Norm nicht benötigt wird, kann man $ \Vert x-y\Vert$ durch eine allgemeine Abstandfunktion $ d(x,y)$ ersetzen.

Erläuterung:


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  automatisch erstellt am 22.  9. 2016