Mathematik-Online-Lexikon: Banachscher Fixpunktsatz

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	Banachscher Fixpunktsatz

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Übersicht

Ist

eine kontrahierende Abbildung, die eine nichtleere, abgeschlossene Menge $D\subset\mathbb{R}^n$ in sich abbildet, d.h. gilt

$D=\overline{D}$
$x \in D \Rightarrow g(x) \in D$
$\Vert g(x)-g(y)\Vert\le c \Vert x-y\Vert\quad \forall x,y \in D$

mit

, dann besitzt

einen eindeutigen Fixpunkt $x_*=g(x_*)\in D$ . Ausgehend von $x_0\in D$ kann $x_\ast$ durch die Iterationsfolge

$\displaystyle x_0,\, x_1 = g(x_0),\, x_2=g(x_1),\,\ldots$

approximiert werden. Für den Fehler gilt

$\displaystyle \Vert x_*-x_k\Vert\le \frac{c^k}{1-c}\, \Vert x_1-x_0\Vert$

d.h. die Iterationsfolge konvergiert für jeden Startwert linear.

Der Fixpunktsatz gilt allgemein in vollständigen metrischen Räumen. Da die Translationsinvarianz und Homogenität der Norm nicht benötigt wird, kann man $\Vert x-y\Vert$ durch eine allgemeine Abstandfunktion ersetzen.

Beispiel:

Gestörtes lineares System

[Erläuterungen] [Verweise]

automatisch erstellt am 22. 9. 2016