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Mathematik-Online-Lexikon:

Lagrange-Multiplikatoren

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Ist $ x_*$ eine lokale Extremstelle der skalaren Funktion $ f$ unter den Nebenbedingungen $ g_i(x)=0$, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren $ \lambda_i$, so dass

$\displaystyle f^\prime(x_*) = \lambda^{\operatorname t}g^\prime(x_*) \, . $

Dabei wird vorausgesetzt, dass $ f$ und $ g$ in einer Umgebung von $ x_*$ stetig differenzierbar sind und dass die Jacobi-Matrix $ g^\prime(x_*)$ vollen Rang hat.

Bei nur einer Nebenbedingung hat die Lagrange-Bedingung die einfache Form

$\displaystyle \operatorname{grad} f(x_*) \; \parallel \; \operatorname{grad} g(x_*) \,, $

falls $ \operatorname{grad} g(x_*)\neq 0$, d.h. die Niveauflächen von $ f$ und $ g$ berühren sich an einer Extremstelle.

Die Lagrange-Bedingung ist nicht hinreichend, um zu entscheiden, ob ein lokales Extremum vorliegt und ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt. Dies lässt sich nur mit Hilfe weiterer Informationen feststellen.

Die globalen Extrema erhält man durch den Vergleich der Funktionswerte an den Punkten, welche die Lagrange-Bedingung erfüllen, sowie gegebenenfalls denen auf dem Rand der zulässigen Menge oder einem Rangverlust von $ g^\prime$.

Erläuterung:

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  automatisch erstellt am 26.  1. 2017