Mathematik-Online-Lexikon: Rechenregeln für Differentialoperatoren erster Ordnung

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	Rechenregeln für Differentialoperatoren erster Ordnung

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Übersicht

Für räumliche Vektorfelder $\vec{F}$ , $\vec{G}$ und räumliche Skalarfelder

gelten folgende Rechenregeln.

Bei der Hintereinanderschaltung von Gradient, Divergenz und Rotation gilt

$\operatorname{rot}(\operatorname{grad}U) = \vec{0}$
$\operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec{F}) = 0$
$\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec{F}) = \operatorname{grad}(\operatorname{div}\vec{F}) -\Delta \vec{F}$

wobei der Laplace-Operator einer vektorwertigen Funktion komponentenweise zu interpretieren ist, d.h.

$\displaystyle \Delta \vec{F} = \Delta F_x\vec{e}_x+ \Delta F_y\vec{e}_y + \Delta F_z\vec{e}_z \,.$

Bei der Differentiation von Produkten gilt

$\operatorname{grad}(UV)= U\operatorname{grad}V+V\operatorname{grad}U$
$\operatorname{div}(U\vec{F}) = U\operatorname{div}\vec{F} + \vec{F}\cdot\operatorname{grad}U$
$\operatorname{div}(\vec{F}\times \vec{G}) = \vec{G} \cdot \operatorname{rot}\vec{F} - \vec{F}\cdot\operatorname{rot}\vec{G}$
$\operatorname{rot}(U\vec{F}) = U\operatorname{rot}\vec{F} - \vec{F}\times\operatorname{grad}U$

Analoge Identitäten gelten auch für ebene Felder. Formal erhält man die entsprechenden Formeln, wenn man die dritte Komponente der Felder null setzt und nur von und abhängige Funktionen betrachtet.

Erläuterung:

Beweis: Rechenregeln für Differentialoperatoren erster Ordnung

[Beispiele] [Verweise]

automatisch erstellt am 30. 9. 2013