Mathematik-Online-Lexikon: Variation der Konstanten für eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

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	Variation der Konstanten für eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

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Die Differentialgleichung

$\displaystyle u^{\prime\prime} + p u^\prime + q u = f$

kann mit dem Ansatz

$\displaystyle u_p(t) = a(t) v(t) + b(t) w(t)$

gelöst werden, wobei

und

linear unabhängige Lösungen der homogenen Differentialgleichung (

) sind. Für die Anfangsbedingungen $u_p(t_0)=u^\prime_p(t_0)=0$ erhält man

$\displaystyle u_p(t)=\int_{t_0}^t\frac{v(s)w(t)-w(s)v(t)}{v(s)w^\prime(s)-w(s)v^\prime(s)} f(s)\,ds \ .$

Die allgemeine Lösung ist

$\displaystyle u(t)=u_p(t)+c_1v(t)+c_2w(t)\ .$

Beispiel:

automatisch erstellt am 19. 8. 2013