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Mathematik-Online-Lexikon:

Existenz eines Potentials

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Für ein stetiges Vektorfeld $ \vec{F}$ auf einem zusammenhängenden Gebiet $ D$ existiert ein Potential $ U$ genau dann, wenn das Arbeitsintegral wegunabhängig ist. In diesem Fall ist

$\displaystyle U(P) = U(P_0)+ \int\limits_{C_P} \vec{F} \cdot d\vec{r}\,, \quad \vec{F} = \operatorname{grad} U \,, $

wobei $ {C_P}: t\mapsto \vec{r}(t)$ ein beliebiger in $ D$ verlaufender Weg ist, der einen fest gewählten Punkt $ P_0\in D$ mit $ P$ verbindet. Insbesondere ist $ U$ bis auf eine Konstante (den Wert $ U(P_0)$) eindeutig bestimmt.

Ist $ \vec{F}$ stetig differenzierbar auf einer offenen Menge $ D$ ist

$\displaystyle \operatorname{rot} \vec{F} =0 $

notwendig für die Existenz eines Potentials. Ist $ D$ einfach zusammenhängend, so ist die Wirbelfreiheit ebenfalls hinreichend.

Beispiel:

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  automatisch erstellt am 9. 10. 2013