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Mathematik-Online-Lexikon:

Differentiation und Integration von Fourier-Reihen

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Eine Fourier-Reihe kann gliedweise integriert und differenziert werden:

$\displaystyle \int \sum_{k\ne 0} c_k e_k(x)\,dx = d_0 + \sum_{k\ne 0} d_k e_k(x),\quad d_k = (\mathrm{i}k)^{-1}c_k \,, $

mit $ d_0\in\mathbb{R}$ bzw.

$\displaystyle \left( \sum_k d_k e_k(x) \right)' = \sum_{k\ne 0} c_k e_k(x),\quad c_k = (\mathrm{i}k)d_k \,, $

mit $ e_k(x) = \exp(\mathrm{i}kx)$. Dabei wird die Konvergenz der auftretenden Reihen vorausgesetzt. Hinreichend dafür ist beispielsweise, dass die Beträge der Fourier-Koeffizienten quadratsummierbar sind: $ \sum_k \vert c_k\vert^2 < \infty$.

Ist das Absolutglied $ c_0$ der Fourier-Reihe nicht null, so hat die Reihe keine periodische Stammfunktion und die gliedweise Integration liefert keine Fourier-Reihe mehr.

Beispiele:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013