Mathematik-Online-Lexikon: Umformungsregeln für logische Operationen

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	Umformungsregeln für logische Operationen

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Übersicht

Für logische Operationen gelten die folgenden Identitäten.

Assoziativgesetze:

$\displaystyle (A\land B)\land C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A \land (B \land C)$

$\displaystyle (A\lor B)\lor C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A \lor (B \lor C)$
Kommutativgesetze:

$\displaystyle A\land B$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B \land A$

$\displaystyle A\lor B$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B \lor A$
De Morgansche Regeln:

$\displaystyle \lnot(A\land B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (\lnot A) \lor (\lnot B)$

$\displaystyle \lnot(A\lor B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (\lnot A) \land (\lnot B)$
Distributivgesetze:

$\displaystyle (A\land B)\lor C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (A\lor C) \land (B\lor C)$

$\displaystyle (A\lor B)\land C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (A\land C) \lor (B\land C)$
Sonstige:

$\displaystyle \lnot(\lnot A)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A$

$\displaystyle A\land A$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A$

$\displaystyle A\lor A$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A$
Alternative Darstellungen:

$\displaystyle \textrm{Implikation:}\quad$ $\displaystyle A \Rightarrow B$ $\displaystyle \quad =\quad \lnot A \lor B \quad =\quad \lnot A \Leftarrow \lnot B$

$\displaystyle \textrm{Äquivalenz:}\quad$ $\displaystyle A \Leftrightarrow B$ $\displaystyle \quad =\quad (A \land B) \lor (\lnot A \land \lnot B)$

$\displaystyle \textrm{Antivalenz:}\quad$ $\displaystyle A \not\equiv B$ $\displaystyle \quad =\quad (A \land \lnot B) \lor (\lnot A \land B)$

Die alternativen Formulierungen werden oft in Beweisen benutzt.

Ein logischer Ausdruck, der unabhängig vom Wahrheitswert der auftretenden Aussagen immer wahr bzw. immer falsch ist, wird als Tautologie bzw. Kontradiktion bezeichnet. Ein solcher Ausdruck kann bei einer Umformung durch w (oder ) bzw. f (oder 0) ersetzt werden. Insbesondere gelten die Identitäten:

$\displaystyle A \lor \lnot A = \mathrm{w}$	$\displaystyle \textrm{bzw.}$	$\displaystyle A\land \lnot A = \mathrm{f}\,,$
$\displaystyle A \lor \mathrm{w} = \mathrm{w}$	$\displaystyle \textrm{bzw.}$	$\displaystyle A\land \mathrm{w} = A\,,$
$\displaystyle A \lor \mathrm{f} = A$	$\displaystyle \textrm{bzw.}$	$\displaystyle A\land \mathrm{f} = \mathrm{f}\,.$

Beispiele:

[Erläuterungen] [Verweise]

automatisch erstellt am 19. 8. 2013

$\displaystyle (A\land B)\land C$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A \land (B \land C)$
$\displaystyle (A\lor B)\lor C$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A \lor (B \lor C)$

$\displaystyle A\land B$	$\displaystyle =$	$\displaystyle B \land A$
$\displaystyle A\lor B$	$\displaystyle =$	$\displaystyle B \lor A$

$\displaystyle \lnot(A\land B)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (\lnot A) \lor (\lnot B)$
$\displaystyle \lnot(A\lor B)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (\lnot A) \land (\lnot B)$

$\displaystyle (A\land B)\lor C$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (A\lor C) \land (B\lor C)$
$\displaystyle (A\lor B)\land C$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (A\land C) \lor (B\land C)$

$\displaystyle \lnot(\lnot A)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A$
$\displaystyle A\land A$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A$
$\displaystyle A\lor A$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A$

$\displaystyle \textrm{Implikation:}\quad$	$\displaystyle A \Rightarrow B$	$\displaystyle \quad =\quad \lnot A \lor B \quad =\quad \lnot A \Leftarrow \lnot B$
$\displaystyle \textrm{Äquivalenz:}\quad$	$\displaystyle A \Leftrightarrow B$	$\displaystyle \quad =\quad (A \land B) \lor (\lnot A \land \lnot B)$
$\displaystyle \textrm{Antivalenz:}\quad$	$\displaystyle A \not\equiv B$	$\displaystyle \quad =\quad (A \land \lnot B) \lor (\lnot A \land B)$