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Mathematik-Online-Lexikon:

Residuenkalkül für trigonometrische Integranden

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Ein Integral der Form

$\displaystyle \int\limits_0^{2\pi} r(\cos t,\sin t)\,dt $

mit einer rationalen Funktion $ r$ kann durch die Substitution

$\displaystyle z = e^{\mathrm{i}t},\quad \cos t=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\r... ...\frac{1}{2\mathrm{i}}\left(z-\frac{1}{z}\right),\quad dz = \mathrm{i}z\,dt \,, $

in das komplexe Kurvenintegral

$\displaystyle \int\limits_C f(z)\,dz,\quad f(z) = r\left(\frac{1}{2}\left(z+\fr... ...frac{1}{2\mathrm{i}}\left(z-\frac{1}{z}\right)\right) \frac{1}{\mathrm{i}z}\,, $

über den Einheitskreis $ C:\,\vert z\vert=1$ überführt werden. Nach dem Residuensatz gilt

$\displaystyle \int\limits_C f(z)\,dz=2\pi\mathrm{i}\sum_{\vert a\vert<1} \underset{a}{\operatorname{Res}}f\,, $

d.h. das Integral ist das $ (2\pi\mathrm{i})$-fache der Summe der Residuen von $ f$ an den Polstellen $ a$ im Inneren des Einheitskreises.

Beispiel:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013