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Mathematik-Online-Lexikon:

Residuenkalkül für trigonometrische Integranden


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Ein Integral der Form

$\displaystyle \int\limits_0^{2\pi} r(\cos t,\sin t)\,dt
$

mit einer rationalen Funktion $ r$ kann durch die Substitution

$\displaystyle z = e^{\mathrm{i}t},\quad \cos t=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\r...
...\frac{1}{2\mathrm{i}}\left(z-\frac{1}{z}\right),\quad
dz = \mathrm{i}z\,dt
\,,
$

in das komplexe Kurvenintegral

$\displaystyle \int\limits_C f(z)\,dz,\quad f(z) =
r\left(\frac{1}{2}\left(z+\fr...
...frac{1}{2\mathrm{i}}\left(z-\frac{1}{z}\right)\right) \frac{1}{\mathrm{i}z}\,,
$

über den Einheitskreis $ C:\,\vert z\vert=1$ überführt werden. Nach dem Residuensatz gilt

$\displaystyle \int\limits_C f(z)\,dz=2\pi\mathrm{i}\sum_{\vert a\vert<1}
\underset{a}{\operatorname{Res}}f\,,
$

d.h. das Integral ist das $ (2\pi\mathrm{i})$-fache der Summe der Residuen von $ f$ an den Polstellen $ a$ im Inneren des Einheitskreises.

siehe auch:


[Beispiele]

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013