Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon:

Laurent-Reihe

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Eine in einem Kreisring

$\displaystyle D:\ r_1 < \vert z-a\vert < r_2 $

analytische Funktion $ f$ kann in eine Laurent-Reihe

$\displaystyle f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n (z-a)^n $

entwickelt werden, die in $ D$ absolut konvergiert. Die Koeffizienten besitzen die Integraldarstellung

$\displaystyle c_n = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int\limits_C \frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\,dw \,, $

wobei $ C\subset D$ ein beliebiger entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufener Kreis um $ a$ ist.

Die Laurent-Reihe entspricht einer Zerlegung

$\displaystyle f(z) = f_1(z-a) + f_2(1/(z-a)) $

von $ f$ in zwei analytische Funktionen $ f_j$, die bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt sind. Die Konvergenzgebiete von $ f_1$ und $ f_2$ sind offene Kreisscheiben um $ a$ mit Radius $ r_2$ bzw. $ 1/r_1$.

Beispiel:

[Erläuterungen] [Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013