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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Maximumprinzip


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Zur Illustration des Maximumprinzips wird die Funktion

$\displaystyle \cos(z)=\frac{1}{2}(e^{\mathrm{i}z}+e^{-\mathrm{i}z})$

auf dem Rechteck

$\displaystyle D:\,\, x=\operatorname{Re}\,z\in [-\pi,\pi],\,\, y=\operatorname{Im}\,z\in [-1,1]$

betrachtet. Man erhält
$\displaystyle \vert\cos(z)\vert^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos(z) \overline{\cos(z)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{4}(e^{\mathrm{i}x}e^{-y}+e^{-\mathrm{i}x}e^{y})(e^{-\mathrm{i}x}e^{-y}+e^{\mathrm{i}x}e^y)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{4}(e^{-2y}+2\cos(2x)+e^{2y}).$  

Das Maximum wird also auf dem Rand, für $ x\in \{-\pi,0,\pi \}$, $ y\in\{-1,1\}$, angenommen.

siehe auch:


  automatisch erstellt am 21. 11. 2013