Mathematik-Online-Lexikon: Determinantenberechnung und Invertierbarkeit

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	Determinantenberechnung und Invertierbarkeit

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Übersicht

Berechne jeweils die Determinante von .

1.: Sei $\begin{displaymath}A = \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 1& 1& 0 \\ 0 & 1 ... ...0 & 1 & 1& 0& 1 \\ \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{5\times 5}\end{displaymath}$ .
2.: Sei $t\in\mathbb{R}$ , sei $\begin{displaymath}A = \left( \begin{array}{rrrrrr} 1 & 0 & 0& 1& 0& t \\ 0 ... ... 1 & t& t& 1& 0 \\ \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{6\times 6}\end{displaymath}$ . Für welche $t\in\mathbb{R}$ ist invertierbar? Für welche $t\in\mathbb{R}$ ist $\operatorname{Kern }A = \{ 0\}$ ?
3.: Sei $n\geq 1$ , und sei $\begin{displaymath}A = \left( \begin{array}{cccccccc} 1 & 1 & 0&\cdots & 0 & 0... ...dots & 0& 1 & 1 \\ \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{n\times n}\end{displaymath}$ . Für welche ist singulär?

Lösung.

1.

Wir erhalten

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} \det A \;=\; \det\left( \begin{array}{rrrr... ... 1 \\ -2&-1 \\ \end{array}\right) \;=\; 3\; . \\ \end{array}\end{displaymath}$

2.

Wir erhalten

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} \det A \;=\; \det\left( \begin{array}{cccc... ... \;=\; -t(t-1)(t^2-1) \;=\; -t(t-1)^2(t+1)\; . \\ \end{array}\end{displaymath}$

Die Matrix

ist invertierbar genau dann, wenn $\det A\ne 0$ ist, d.h. wenn $t\in\mathbb{R}\setminus\{ 0,1,-1\}$ . Invertierbarkeit ist auch gleichbedeutend mit $\operatorname{Kern }A = \{ 0\}$ .

3.

Wir schreiben zur Unterscheidung $A_n = A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ und berechnen zunächst $\det A_1 = 1$ , $\det A_2 = 0$ und $\det A_3 = -1$ . Sodann wird

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \det A_n &=& \det\underbrace{\left( \be... ...imes (n-2)} \vspace*{2mm}\\ &=& -\det A_{n-3}\; . \end{array}\end{displaymath}$