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Mathematik-Online-Lexikon:

Positive Semidefinitheit

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Zeige, daß $ a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\geq 0$ für alle $ a,b,c\in\mathbb{R}$ .

Lösung.

Mit

$\displaystyle A \;:=\; \left(\begin{array}{rrr} 1 & -1/2& -1/2\\ -1/2 & 1 & -1/2\\ -1/2 & -1/2& 1\\ \end{array}\right) $

ergibt sich

$\displaystyle \mathrm{q}_A(\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix}) \;=\; a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \;. $

Es gilt also $ a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\geq 0$ für alle $ a,b,c\in\mathbb{R}$ genau dann, wenn $ A$ positiv semidefinit ist.

Beidseitiger Gaußscher Algorithmus liefert

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1 & -1/2& -1/2\\ -1/2 & 1 & -1/2\\ -1/... ...gin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3/4 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right)\;. $

Damit ist $ A$ in der Tat positiv semidefinit; genauer gesagt ist ihre Signatur $ (2,0)$ .

Alternativ bietet sich eine quadratische Ergänzung an. Es ist

\begin{displaymath} \begin{array}{ll} & a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\vspace{3mm}\\ =& ... ...a-\frac{b}{2}-\frac{c}{2})^2 + \frac{3}{4} (b-c)^2. \end{array}\end{displaymath}

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006