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Mathematik-Online-Lexikon:

Rechenregeln für stetige Funktionen

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Es seien $ f: D \to \mathbb{R}^m$ , $ g: D \to \mathbb{R}\setminus\{0\}$ stetige Funktionen.

Zeige, daß $ \Vert f \Vert$ und $ f/g$ stetig sind.

Lösung.

Es sei

$\displaystyle h_1: \mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{R}\; ,\;\; x \mapsto \sqrt{x} $

und

$\displaystyle h_2: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_{\geq 0}\; ,\;\; x= \begin{pmatrix} \xi_1\\ \vdots\\ \xi_m \end{pmatrix}\mapsto \xi_1^2 + \cdots + \xi_m^2 \; . $

Damit ist

$\displaystyle \Vert f \Vert \; =\; h_1 \circ h_2 \circ f $

stetig als Komposition stetiger Funktionen.

Sei nun

$\displaystyle h_3: \mathbb{R}\setminus\{0\} \to \mathbb{R}\; ,\;\; x \mapsto 1/x\; . $

Dann ist

$\displaystyle f/g \; =\; f \cdot (h_3 \circ g) $

stetig als Produkt von Kompositionen stetiger Funktionen.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006