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Mathematik-Online-Lexikon:

Richtungsableitungen und Differenzierbarkeit

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Es sei $ f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ gegeben durch

$\displaystyle f(x_1,x_2) := \begin{cases} \dfrac{x_1^2 x_2}{x_1^4 + x_2^2}, & x_1^4 + x_2^2 > 0\\ 0, & \mathrm{sonst.} \end{cases}$

Zeige, daß die Richtungsableitung von $ f$ in allen $ x\in\mathbb{R}^2$ in jede Richtung $ v \in \mathbb{R}^2$ existiert, die Funktion $ f$ jedoch nicht differenzierbar ist.

Lösung.

Die gegebene Funktion $ f$ ist als Komposition differenzierbarer Funktionen differenzierbar in allen Punkten $ (x_1, x_2)^\mathrm{t}$ mit $ x_1^4+x_2^2 \ne 0$ . Damit existieren insbesondere auch alle Richtungsableitungen von $ f$ in diesen Punkten.

Wir untersuchen nun die Existenz der Richtungsableitung von $ f$ in dem Punkt $ (0,0)^\mathrm{t}$ in Richtung $ v=(v_1, v_2)^\mathrm{t}$ . Dabei unterscheiden wir zwei Fälle.

In beiden Fällen existieren alle Richtungsableitungen von $ f$ in Richtung $ v$ im Punkt $ (0,0)^\mathrm{t}$ .

Wir zeigen nun, daß die Funktion $ f$ nicht differenzierbar ist, indem wir zeigen, daß sie nicht stetig im Punkt $ (0,0)^\mathrm{t}$ ist.

Für die Folge $ (x_k)_{k\ge 1}$ mit $ x_k := (1/k,1/k^2)^\mathrm{t}$ ist nämlich $ x_k \to (0,0)^\mathrm{t}$ für $ k \to \infty$ , wohingegen

$\displaystyle f(x_k) = \frac{1/k^4}{(1/k^4 + 1/k^4)} = \frac{1}{2} $

für alle $ k\ge 1$ . Insbesondere konvergiert $ f(x_k)$ gegen $ 1/2$ für $ k \to \infty$ und nicht gegen $ 0=f(0,0)$ .

Skizze von $ f$ .

\includegraphics[width = 8cm]{l2.eps}
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006