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Extrema mit Nebenbedingungen |
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Sei , und sei , beide auf ganz definiert.
Bestimme die lokalen Extrema von unter Nebenbedingung .
Lösung.
Sei , und sei , jeweils auf ganz . Bestimme die lokalen Extrema von unter Nebenbedingung .
Notwendige Bedingung. Wir ermitteln die regulären kritischen Punkte. Mit ist . Zu lösen ist folglich das Gleichungssystem
Im Falle erhalten wir aus der ersten Gleichung des Gleichungssystems, daß , und folglich aus der zweiten Gleichung, daß , und schließlich aus der Nebenbedingung , daß . Dies liefert die kritischen Punkte und , die in der Tat regulär sind, da dort gilt, und also der Rang von gleich ist. An diesen beiden Punkten ist .
Hinreichende Bedingung. Bestimmen wir zunächst für beliebiges die Hessematrix
Im Punkt ist und . Also wird z.B. , und folglich
Im Punkt ist und . Also wird z.B. , und folglich
Im Punkt ist und . Also wird z.B. , und folglich
Im Punkt ist und . Also wird z.B. , und folglich
Als Probe kann man anführen, daß an den ersten beiden kritischen Punkten je den Wert annimmt, an den letzten beiden kritischen Punkten je den Wert . Da kompakt ist, müssen sich die beiden globale Extrema unter den lokalen Extrema befinden. Einen Widerspruch hätten wir, wenn wir nun folgern könnten, daß das globale Minimum größer als das globale Maximum sein müßte - was glücklicherweise nicht der Fall ist.
siehe auch:
automatisch erstellt am 14. 5. 2007 |