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Mathematik-Online-Lexikon:

Fourierreihe der Sägezahnfunktion

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Berechne die Fourierreihe der $ 2\pi$ -periodischen ,,Sägezahnfunktion``, welche durch $ f(x)=\dfrac{\pi-x}{2}$ definiert ist für $ 0\leq x < 2\pi$ . Untersuche zudem die Fourierreihe im Intervall $ [0,2\pi)$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls ihre Werte.

Lösung.

Reelle Berechnung der Fourierkoeffizienten.

Es ist $ f$ auf $ [-\pi,\pi]$ eine ungerade Funktion, außer bei $ x = 0$ . Also ist $ a_k = 0$ für alle $ k\ge 0$ .

Wir berechnen noch

$\displaystyle b_k\; =\;\frac{2}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}{\frac{\pi-t}{2}... ...{1}{2k\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}{\cos(kt)\ \mathrm{d}t}\; =\;\frac{1}{k} $

für $ k\geq 1$ , also ist die Fourierreihe von $ f$ gegeben durch

$\displaystyle \mathrm{S}_f(x) \;=\; \sum_{k=1}^\infty {\frac{\sin(kx)}{k}}\; . $

Komplexe Berechnung der Fourierkoeffizienten.

Wir erhalten für $ k\in\mathbb{Z}\setminus \{ 0\}$ durch partielle Integration

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} c_k & = & \frac{1}{2\pi}\displaystyle\... ...*{2mm}\\ & = & \frac{1}{2\mathrm{i} k}\; . \\ \end{array} \end{displaymath}

Für $ k = 0$ erhalten wir

$\displaystyle c_0 = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\pi-t}{2}\,\mathrm{d}t = 0\,. $

Insbesondere sind $ a_k = c_k + c_{-k} = 0$ und $ b_k = \mathrm{i} (c_k - c_{-k}) = \frac{1}{k}\,$ , und wir erhalten erneut

$\displaystyle \mathrm{S}_f(x) \;=\; \sum_{k = -\infty,\; k\ne 0}^{\infty} \frac... ...mathrm{i} x}}{2\mathrm{i} k} \; =\; \sum_{k=1}^\infty{\frac{\sin(kx)}{k}}\; . $

Skizze des Graphen der ersten $ 4$ und des Graphen der ersten $ 20$ Summanden der Fourierreihe.

Da $ f(x)$ für $ x\in (0,2\pi)$ differenzierbar ist, gilt dort $ f(x) = \mathrm{S}_f(x)$ .

Da $ f$ in $ x = 0$ links- wie rechtsseitig einen Grenzwert besitzt, nämlich $ f(0-) = -\frac{\pi}{2}$ und $ f(0+) = \frac{\pi}{2}$ , und dort auch links- und rechtsseitig differenzierbar ist, gilt dort $ \mathrm{S}_f(x) = (f(0+) + f(0-))/2 = 0\,$ .

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006