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Mathematik-Online-Lexikon:

Fouriertransformation


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Sei $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ fouriertransformierbar und, wie angegeben, reellwertig. Zeige, daß

$\displaystyle [(f(t) + f(-t))/2]^\wedge(\omega) \; =\; \operatorname{Re}\, \hat{f}(\omega)
$

für $ \omega\in\mathbb{R}$ .

Lösung.

Beachte zunachst, daß

$\displaystyle \overline{\hat{f}(-\omega)} \; =\; [\overline{f(t)}]^\wedge(\omega) \; =\; [f(t)]^\wedge(\omega) \; =\; \hat{f}(\omega)
$

stets, da $ f$ reellwertig ist.

Für $ \omega\in\mathbb{R}$ wird nun in der Tat

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
[(f(t) + f(-t))/2]^\wedge(\omega)
& = & f...
...
& = & \operatorname{Re}\, \hat{f}(\omega)\; . \\
\end{array}\end{displaymath}

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

siehe auch:


  automatisch erstellt am 22.  8. 2006