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Fouriertransformation


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Definition.

Sei $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ so gegeben, daß $ e^{-\mathrm{i}\omega t} f(t)$ für alle $ \omega\in\mathbb{R}$ von $ -\infty$ bis $ +\infty$ integrierbar ist. Es heiße in diesem Falle $ f$ fouriertransformierbar, und die resultierende Funktion

$\displaystyle \hat{f}(\omega) \; =\; f^\wedge(\omega) \; := \; \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\mathrm{i}\omega t} f(t) \,\mathrm{d}t
$

in $ \omega\in\mathbb{R}$ die Fouriertransformierte von $ f$ . Die Bezeichnungen $ \hat{f}$ und $ f^\wedge$ seien gleichbedeutend, erstere ist nicht immer praktisch.

Wir erlauben uns bei Bedarf auch, $ [f(t)]^\wedge(\omega) := \hat{f}(\omega)$ zu schreiben. Das Argument $ t$ diene hierbei nur der Kenntlichmachung der fourierzutransformierenden Funktion, das Resultat ist weiterhin eine Funktion in $ \omega$ .

Ist $ f$ stückweise stetig und ist $ \vert f(t)\vert$ von $ -\infty$ bis $ +\infty$ integrierbar ist, so heiße $ f$ absolut integrierbar. Absolut integrierbare Funktionen sind fouriertransformierbar.

Regeln.

Seien $ f,\, g :\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ fouriertransformierbar. Seien $ \alpha,\,\beta\,\in\,\mathbb{C}$ . Sei $ r\in\mathbb{R}$ . Sei $ m\,\ge\, 0$ ganz.

Folgende Gleichheiten gelten für alle $ \omega\in\mathbb{R}$ .

Sei erwähnt, daß bei Fouriertransformationen in der Praxis häufig mit verallgemeinerten Funktionen, sogenannten Distributionen, gerechnet wird. So etwa ist die Fouriertransformierte der konstanten Funktion $ f(t) = 1$ das $ 2\pi$ -fache des Diracschen $ \delta$ . Wir wollen uns dagegen auf Funktionen im eigentlichen Sinne beschränken.

Faltung.

Seien $ f,\, g :\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ absolut integrierbar. Sei die Funktion

$\displaystyle (f\ast g)(t) \; =\; \int_{-\infty}^{+\infty} f(t - \tau) g(\tau) \,\mathrm{d}\tau
$

in $ t\in\mathbb{R}$ die Faltung von $ f$ und $ g$ . Als Merkregel beobachte man, daß das Integral an das Cauchyprodukt von Reihen erinnert.

Dann ist

$\displaystyle (f\ast g)^\wedge(\omega) \; =\; \hat{f}(\omega)\cdot \hat{g}(\omega)
$

für $ \omega\in\mathbb{R}$ .

Parseval.

Ist $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ absolut integrierbar, so gilt die Parsevalsche (Norm-)Gleichung

$\displaystyle 2\pi\cdot\int_{-\infty}^{+\infty} \vert f(t)\vert^2\,\mathrm{d}t \; =\; \int_{-\infty}^{+\infty} \vert\hat{f}(\omega)\vert^2\,\mathrm{d}\omega\; .
$

Poisson.

Ist $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ absolut integrierbar, so gilt die Poissonsche Summationsformel

$\displaystyle \sum_{n = -\infty}^{+\infty} f(n) \; =\; \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \hat{f}(2\pi n)\; .
$

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

[Beispiele] [Verweise]

  automatisch erstellt am 11.  8. 2006