Mathematik-Online-Lexikon: Zusammenhang

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	Zusammenhang

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ist zusammenhängend, denn 0 ist mit jedem $X \in Mat(n,K)$ durch die Gerade $t \mapsto tX$ , $t \in$ [0,1] verbindbar.
Für = 1 folgt aus (1), dass $\mathbb{R}$ und $\mathbb{C}$ zusammenhängend sind.
$\mathbb{C}^{\times}$ ist ebenso zusammenhängend:
Ist $z \in \mathbb{C}$ und $z = re^{i\phi}$ , >0, die Darstellung von durch die Polarkoordinaten, so erhält man einen Weg in $\mathbb{C}$ von 1 nach durch

$\displaystyle \gamma(t) = (1+t(r-1))e^{it\phi}.$
$\mathbb{R}^{\times}$ ist nicht zusammenhängend, denn es gibt keinen Weg in $\mathbb{R}^{\times}$ von -1 nach 1. Wäre z. B. $\gamma$ eine stetige Abbildung mit $\gamma$ (0) = -1 und $\gamma$ (1) = 1, so müsste es nach dem Zwischenwertsazt ein $t \in$ [0,1] geben mit $\gamma(t)$ = 0. Die Zusammenhangskomponenten von $\mathbb{R}^{\times}$ sind $\mathbb{R}^{\times}_{+}$ und $\mathbb{R}^{\times}_{-}$ .

(Autor: Borgart)

automatisch erstellt am 6. 11. 2006