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Mathematik-Online-Lexikon:

Zusammenhang

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  1. $ Mat(n,K)$ ist zusammenhängend, denn 0 ist mit jedem $ X \in Mat(n,K)$ durch die Gerade $ t \mapsto tX$, $ t \in$[0,1] verbindbar.

  2. Für $ n$ = 1 folgt aus (1), dass $ \mathbb{R}$ und $ \mathbb{C}$ zusammenhängend sind.

  3. $ \mathbb{C}^{\times}$ ist ebenso zusammenhängend:
    Ist $ z \in \mathbb{C}$ und $ z = re^{i\phi}$, $ r$>0, die Darstellung von $ z$ durch die Polarkoordinaten, so erhält man einen Weg in $ \mathbb{C}$ von 1 nach $ z$ durch

    $\displaystyle \gamma(t) = (1+t(r-1))e^{it\phi}.$

  4. $ \mathbb{R}^{\times}$ ist nicht zusammenhängend, denn es gibt keinen Weg in $ \mathbb{R}^{\times}$ von -1 nach 1. Wäre z. B. $ \gamma$ eine stetige Abbildung mit $ \gamma$(0) = -1 und $ \gamma$(1) = 1, so müsste es nach dem Zwischenwertsazt ein $ t \in$ [0,1] geben mit $ \gamma(t)$ = 0. Die Zusammenhangskomponenten von $ \mathbb{R}^{\times}$ sind $ \mathbb{R}^{\times}_{+}$ und $ \mathbb{R}^{\times}_{-}$.
(Autor: Borgart)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 6. 11. 2006