Mathematik-Online-Lexikon: Ableitung der Umkehrfunktion

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	Ableitung der Umkehrfunktion

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Um die Ableitung der Umkehrfunktion $x = \arctan y$ der Tangensfunktion zu bestimmen, berechnet man zunächst

$\displaystyle \frac{d}{dx} \tan x = \frac{d}{dx} \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}.$

Damit folgt

$\displaystyle \frac{d}{dy} \arctan y = \left(\frac{1}{\cos^2 x}\right)^{-1} = \cos^2 x.$

$\includegraphics[height=4.5cm]{arctan_1.eps}$

$\includegraphics[height=4.5cm]{arccot_1.eps}$

Die rechte Seite muss nun als Funktion von

geschrieben werden. Dazu verwendet man die Identität

$\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + y^2$

und erhält

$\displaystyle \frac{d}{dy} \arctan y = \frac{1}{1 + y^2}.$

Analog zeigt man für die Umkehrfunktion des Kotangens,

$\displaystyle \frac{d}{dy} \operatorname{arccot} y = -\frac{1}{1 + y^2}.$

(Autoren: App/Höllig )

automatisch erstellt am 8. 4. 2008