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Mathematik-Online-Lexikon:

Kubische und quartische Einheitswurzel

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Für die Berechnung der kubischen Einheitswurzel erhält man aus der allgemeinen Formel

$\displaystyle z_k = \exp{\frac{2 \pi \mathrm{i} k}{3}} \qquad k = 0,1,2 \,, $

d.h.
$\displaystyle z_0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \exp{0} = 1$  
$\displaystyle z_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \exp{\frac{2 \pi \mathrm{i}}{3}} = \cos{\frac{2 \pi}{3}} + \mathrm{i} \sin{\frac{2 \pi}{3}} = -\frac{1}{2} + \mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}$  
$\displaystyle z_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \exp{\frac{4 \pi \mathrm{i}}{3}} = \cos{\frac{4 \pi}{3}} + \mathrm{i} \sin{\frac{4 \pi}{3}} = -\frac{1}{2} - \mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\, .$  


Die Wurzel $ z^{\frac{1}{3}}$ ist mehrdeutig, es existieren $ 3$ verschiedene Werte.

Analog bestimmt man die quartischen Einheitswurzeln $ 1, \mathrm{i}, -1, -\mathrm{i}$.

(Autoren: Höllig/Kopf)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 11.  6. 2007