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Mathematik-Online-Lexikon:

Moivre-Laplace

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Wie oft muß eine Münze geworfen werden, damit die relative Häufigkeit des Wurfs Zahl (also die Anzahl der erfolgreichen geteilt durch die Anzahl aller Würfe) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $ \mbox{$0.95$}$ im Intervall $ \mbox{$[0.48,0.52]$}$ liegt? Berechne eine Näherungslösung mit Hilfe des Grenzwertsatzes von de Moivre-Laplace.

Die Folge der Zufallsvariablen $ \mbox{$(X_n)_{\mathbb{N}}$}$, die den Münzwurf beschreibt ( $ \mbox{$X_n = 1 : \text{ Zahl im }n\text{-ten Wurf}$}$, $ \mbox{$X_n = 0 : \text{eine R\uml uckseite im }n\text{-ten Wurf}$}$) ist unabhängig, und es gilt $ \mbox{$P(X_n = 0)= 0.5$}$ und $ \mbox{$P(X_n = 1) = 0.5$}$ für alle $ \mbox{$n\in\mathbb{N}$}$.

Wir hatten mit $ \mbox{$\bar{X}_n := \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k$}$ den Mittelwert der ersten $ \mbox{$n$}$ Würfe bezeichnet. Es ist

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} P(0.48 \leq \bar{X}_n \leq 0.52) &=... ...(-0.04\,\sqrt{n})\\ &=& 2\,\Phi_{0,1}(0.04\,\sqrt{n}) - 1\; . \end{array}$}$

Gefragt ist $ \mbox{$n\in\mathbb{N}$}$ mit

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} 2\,\Phi_{0,1}(0.04\,\sqrt{n})-1 & \g... ...{-1}(0.975) \approx 1.95996 \\ n & \geq & 2400.902001\; . \\ \end{array}$}$
Der Wert für $ \mbox{$\Phi_{0,1}^{-1}(0.975)$}$ wird aus einer Tabelle entnommen.

Die Münze muß somit mindestens $ \mbox{$2401$}$-mal geworfen werden.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006