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Mathematik-Online-Lexikon:

Lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung (in zwei Variablen)

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Bestimme die allgemeine Lösung der partiellen Differentialgleichung

$ \mbox{$\displaystyle u_{xx} - u_{yy} \; =\; 0\; . $}$

Es ist $ \mbox{$\Delta(x,y) = -\det\left(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{matrix}\right) = 1 > 0$}$ für alle $ \mbox{$x,y\in\mathbb{R}$}$, die Gleichung also auf $ \mbox{$\mathbb{R}^2$}$ hyperbolisch. Als Lösungen von

$ \mbox{$\displaystyle z_x + z_y \; =\; 0 \hspace*{1cm}\text{ und }\hspace*{1cm} z_x - z_y \; =\; 0 $}$
sind $ \mbox{$\xi(x,y) = x - y$}$ resp. $ \mbox{$\eta(x,y)=x + y$}$ ersichtlich. Variablensubstitution ergibt für die ursprüngliche Gleichung
$ \mbox{$\displaystyle \tilde u_{\xi\eta} \; =\; 0\; . $}$
Setzt man $ \mbox{$v = \tilde u_\eta$}$, so wird $ \mbox{$v_\xi = 0$}$ durch $ \mbox{$v = f(\eta)$}$ mit einer beliebigen Funktion $ \mbox{$f$}$ gelöst. Integration von $ \mbox{$\tilde u_\eta = f(\eta)$}$ ergibt schließlich
$ \mbox{$\displaystyle u = \varphi (\xi) + \psi(\eta) \; =\; \varphi (x+y) + \psi(x-y) $}$
mit beliebigen (zweimal differenzierbaren) Funktionen $ \mbox{$\varphi $}$ und $ \mbox{$\psi$}$.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 25.  1. 2006