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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: algebraische und geometrische Vielfachheit

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Die Matrizen

$\displaystyle A_1=\left(\begin{array}{rrr}4& 0 &0 \\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 4\end{... ..._3=\left(\begin{array}{rrr}4& 4 &0 \\ 3 & 4 & 6\\ 0 & -2 & 4\end{array}\right) $

haben alle das charakteristische Polynom

$\displaystyle (4-\lambda)^3=(4-\lambda)(5-\lambda)(3-\lambda)+4-\lambda=(4-\lambda)^3+12(4-\lambda)-12(4-\lambda) $

und damit ist jeweils $ m_4=3$. Anhand des Rangs der Matrizen
$\displaystyle (A_1-4E)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}0& 0 &0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{arra... ...\left(\begin{array}{rrr}0& 0 &0 \\ 0 & 1 & 1\\ 0 & -1 & -1\end{array}\right)\,,$  
$\displaystyle (A_3-4E)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}0& 4 &0 \\ 3 & 0 & 6\\ 0 & -2 & 0\end{array}\right)$  

erkennt man $ d_4=3$ für $ A_1$, $ d_4=2$ für $ A_2$ und $ d_4=1$ für $ A_3$.

siehe auch:

  automatisch erstellt am 25.  6. 2018