Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]

Mathematik-Online-Lexikon:

Singuläres wirbelfreies Feld


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Wir betrachten das ebene Vektorfeld

\begin{displaymath}
\vec{F}=\frac{1}{x^2+y^2}\left(
\begin{array}{c}
-y\\ x\\
\end{array}\right)
\end{displaymath}

auf der Kreisscheibe

$\displaystyle K:\quad x^2+y^2\leq r\,,\quad r>0\,.
$

Obwohl die Rotation von $ \vec{F}$ verschwindet,

$\displaystyle \operatorname{rot}\vec{F} = \frac{x^2+y^2-x(2x)}{(x^2+y^2)^2}
-\frac{-(x^2+y^2)+y(2y)}{(x^2+y^2)^2} = 0\,,
$

ist das Arbeitsintegral über den Rand $ C$ von $ K$ nicht null. Verwendet man

\begin{displaymath}
\vec{r}(t)=r\left(
\begin{array}{c}
\cos t\\ \sin t\\
\end{array}\right),\quad t\in[0,2\pi]\,,
\end{displaymath}

als Parametrisierung für $ C$, so erhält man

$\displaystyle \int\limits_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int\limits_0^{2\pi}
\frac{-r\sin t }{r^2}(-r\sin t )+\frac{r\cos t}{r^2}\,r\cos t\, dt =
2\pi \neq 0\,.
$

Dies ist kein Widerspruch zum Satz von Green, weil das Vektorfeld $ \vec{F}$ im Inneren der Kreisscheibe bei $ (0,0)$ eine Singularität besitzt.

siehe auch:


  automatisch erstellt am 9. 10. 2013