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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Fluss durch einen Zylindermantel


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Es soll der Fluss des Feldes

\begin{displaymath}
\vec{F}(x,y,z)=\left(
\begin{array}{c}
xz^2\\ yz^2\\ z(x^2+y...
...\ \varrho z^2\sin\varphi \\
\varrho^2 z\\
\end{array}\right)
\end{displaymath}

von innen nach außen durch den Mantel eines Zylinders mit Abstand $ a$ zur $ z$-Achse und $ z_{\rm min}=0$, $ z_{\rm max}=b$ berechnet werden.

Man erhält

\begin{displaymath}
F_\varrho=\vec{F}\cdot \vec{e}_\varrho=
\left(
\begin{array}...
...s\varphi\\ \sin\varphi\\ 0\\
\end{array}\right) =
\varrho z^2
\end{displaymath}

und somit für den Fluss

$\displaystyle \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_{z_{\min}}^{z_{\max}}
F_\varrho(a...
...= \frac{1}{3}a^2b^3 \int\limits_0^{2\pi} \,d\varphi
= \frac{2}{3}\pi a^2b^3\,.
$

siehe auch:


  automatisch erstellt am 2. 10. 2013