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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Koordinatenfreie Definition der Rotation

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Zur Illustration der geometrischen Definition wird das Vektorfeld

\begin{displaymath} \vec{F}(x,y,z)=\left( \begin{array}{c} -y\\ x\\ 0\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

mit

\begin{displaymath} \operatorname{rot}\vec{F}=\left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 2\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

auf Kreisscheiben $ S$ in der $ xy$-Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius $ a>0$ betrachtet. Der Rand $ C$ von $ S$ wird dabei mit

\begin{displaymath} C:\quad \vec{r}(t)=\left( \begin{array}{c} a\cos t\\ a\sin t... ...in t\\ a\cos t\\ 0\\ \end{array}\right),\quad t\in[0,2\pi]\,, \end{displaymath}

parametrisiert. Man erhält

$\displaystyle \lim_{\operatorname{diam}{S}\to0} \frac{1}{\operatorname{area}{S}}\, \int\limits_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}$ $\displaystyle = \lim_{a\to0}\frac{1}{\pi a^2}\int\limits_0^{2\pi}\left( \begin{... ...) \cdot \left( \begin{array}{c} -a\sin t\\ a\cos t\\ 0\\ \end{array}\right)\,dt$    
  $\displaystyle = \lim_{a\to0}\frac{1}{\pi a^2}\int\limits_0^{2\pi} a^2\,dt = \lim_{a\to0}\frac{2\pi a^2}{\pi a^2} = 2\,,$    

was mit

$\displaystyle \vec{n}^\circ\cdot\operatorname{rot} \vec{F} = \left(\begin{array... ...d{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 2\\ \end{array}\right) = 2 $

übereinstimmt.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 30.  9. 2013