Mathematik-Online-Lexikon: Partielle Integration von Wurzelausdrücken

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	Partielle Integration von Wurzelausdrücken

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Aus ${\displaystyle{\int (1+x)^\alpha\, dx=\frac{1}{\alpha+1}\,(1+x)^{\alpha+1}+c}}$ für $\alpha\neq -1$ folgt

$\displaystyle \int \underset{u \quad\:\: v'\quad}{x\sqrt{1+x}}\,dx$	$\displaystyle =$	$\displaystyle x\frac{2}{3}(x+1)^{3/2} - \int 1\cdot\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}\,dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{2}{3}x(1+x)^{3/2} - \frac{4}{15}(1+x)^{5/2} + c.$

Analog berechnet man

$\displaystyle \int_0^1 \underset{u \quad \:\: v'\quad}{x\sqrt{1-x}}\,dx$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left[ -x\frac{2}{3}(1-x)^{3/2} \right]_0^1 + \int_0^1 1\cdot\frac{2}{3}(1-x)^{3/2}\,dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 - \left[ \frac{4}{15} (1-x)^{5/2} \right]_0^1 = \frac{4}{15}\,.$

(Autoren: Höllig/Kopf)

automatisch erstellt am 8. 4. 2008